Note on series of positive terms. (Q5907444)

\textit{Hardy} und \textit{Littlewood} (F. d. M. 53, 193 (JFM 53.0193.*)) sowie \textit{Copson} (F. d. M. 53, 185) haben weitgehende Sätze über Reihen mit positiven Gliedern bewiesen, von denen hier einige Verallgemeinerungen gegeben werden. Es seien die beiden folgenden genannt, bei denen \(\lambda_n>0,a_n>0\), \[ A_n=\lambda_1a_1+\cdots +\lambda_na_n,\quad B_n=\lambda_n a_n+\lambda_{n+1}a_{n+1}+\cdots \] (ersteres im Falle der Divergenz, letzteres im Falle der Konvergenz von \(\sum \lambda_n a_n\)) und \[ \Lambda_n=\lambda_1+\lambda_2+\cdots +\lambda_n \] sein soll \((n=1,2,\dots)\). 1) Wenn \(c>1>\kappa>0\), \(0<L \leqq \frac{\lambda_n}{\lambda_{n+1}}\), dann ist \[ \sum_n \lambda_n \Lambda_n^{\kappa-c} a_n^\kappa \leqq \left( \frac{c1}{\kappa L} \right)^\kappa \sum \lambda_n \Lambda_n^{-c} A_n^\kappa. \] 2) Wenn \(1>\kappa>0\), \(c<1\), so ist \[ \sum \lambda_n \Lambda_n^{\kappa-c} a_n^\kappa \leqq \left( \frac{N}{\kappa} \right)^\kappa \sum \lambda_n \Lambda_n^{-c} B_n^{\kappa}, \] wobei \(N = 1\) oder \(1-c\) ist, jenachdem \(c \geqq 0\) oder \(<0\) ist.