A convergence criterion for Fourier series. (Q5907464)

In dieser Arbeit gelingt es den Verfassern im Anschluß\ an ihre bekannten Untersuchungen das Konvergenzproblem der \textit{Fourier}schen Reihe für eine ganze Funktionenklasse zu lösen. Das diesbezügliche Haupttheorem lautet: Die Fourierreihe einer zur \(\Lambda_p\) gehörenden Funktion ist konvergent, bzw. \((C,-1+\delta)\)-summierbar für jedes \(\delta>0\), wenn sie überhaupt irgendein \(C\)-Mittel summierbar ist. Für die Summierbarkeit an einer Stelle \(x\) ist notwendig und hinreichend, daß \[ \varphi_1(t)=\int_0^t \varphi(u)du=o(t) \] ist. Hierbei bedeutet: \[ \varphi(t)=\frac 12 \{ f(x+t)+f(x-t)-2f(x) \}, \] und die Klasse \(\Lambda_p\) ergibt sich aus der folgenden Definition: Es sei \(0 <\alpha \leqq 1\), \(p \geqq 1\), und es bezeichne \(\Delta f=\Delta_h(f)\) eine der Differenzen: \[ f(\vartheta)-f(\vartheta-h),\quad f(\vartheta+h)-f(\vartheta-h),\quad f(\vartheta+h)-f(\vartheta). \] Dann gehört \(f(\vartheta)\) zur Klasse \textit{Lip} \((\alpha,\beta)\) bzw. \textit{Lip}\(^*\;(\alpha,\beta)\), wenn für \(h \to 0\): \[ \int_{-\pi}^\pi| \Delta f|^p d \vartheta=O(h^{\alpha p})\;\text{bzw.}\;o(h^{\alpha p}) \] gilt. Ist \(\alpha=\frac 1p\), so hat man die Klasse \(\Lambda_p\). Dem Beweise des Hauptsatzes schicken die Verf. Vorbetrachtungen voraus, welche sich auf bereits bekannte Ergebnisse über die \(C\)-Summierung Fourierscher Reihen, sowie auf zuletzt gewonnene Ergebnisse der Verf. über Funktionen, die der \textit{Lip}-Klasse angehören, beziehen. Im Anschluß\ daran wird ein Satz von \textit{Zygmund} (Bulletin Acad. Polonaise 1925, 1-9; F. d. M. 51) durch das folgende Theorem verallgemeinert: Gehört \(f(\vartheta)\) zur Klasse \textit{Lip} \((\alpha,p)\), und ist \(0<\alpha \leqq 1,\alpha p>0\), so ist die Fourierreihe von \(f(\vartheta)\) gleichmäßig \((C,-\alpha+\delta)\)-summierbar für jedes \(\delta>0\). Für die Klasse \(Lip^\ast(\alpha,\beta)\) kann \(\delta\) weggelassen werden. Setzt man ferner \(p \leqq 2\) voraus, so ist die mit den Fourierkoeffizienten gebildete Reihe \(\sum| c_\nu|^k\) für \(k>\frac{p}{p+p \alpha-1}\) konvergent, wodurch ein Satz von \textit{0. Szász} (F. d. M. 48, 304 (JFM 48.0304.*)) verallgemeinert wird. Dasselbe Ergebnis erzielte unter etwas anderen 54, 309). Voraussetzungen gleichzeitig \textit{O. Szász} (Math. Ann. 100 (1928), 530-536; F. d. M. 54, 309 (JFM 54.0309.*)).