On conjugate functions. (Q5907466)

Wenn die Funktion \(f(x)\) in \((-\pi,+\pi)\) zur Klasse \(L\) gehört und \[ \frac 12 a_0+\sum_{n=1}^\infty(a_n \cos nx+b_n \sin nx) \] ihre \textit{Fourier}reihe ist, so ist bekanntlich die konjugierte Reihe \[ (1)\quad \sum_{n=1}^\infty (b_n \cos nx-a_n \sin nx) \] fast überall \((C,1)\)-summierbar, und zwar mit einer Summe, die sich in der Form \[ (2)\quad g(x)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(t) \cos \frac{t-x}{2}dt \] darstellen läßt, wo das Integral als \textit{Cauchy}scher Hauptwert \[ \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int_{-\pi}^{x-\varepsilon} + \int_{x+\varepsilon}^{+\pi} \right) \] zu verstehen ist. Die Funktion \(g(x)\) braucht aber nicht integrierbar, und (1) nicht Fourierreihe zu sein. Dagegen zeigte \textit{Kolmogoroff} (Fundamenta 7 (1925), 24-29; F. d. M. 51), daß\ \(| g(x)|^{1-\varepsilon}\) für jedes \(\varepsilon>0\) integrierbar ist. Verf. gibt zunächst einen neuen Beweis des \textit{Kolmogoroff}schen Ergebnisses, und zeigt zugleich, daß\ \(g(x)\) integrierbar ist, falls \(f(x)\log^{1+\varepsilon} \{ 2+| f(x)|\}\) für ein \(\varepsilon>0\) diese Eigenschaft hat (während \textit{F. Riesz} mehr, nämlich die Integrierbarkeit von \(|f(x)|^{1+\varepsilon}\) voraussetzt). Verf. wendet sich dann der Integration von \(g(x)\) zu. Hierzu ersetzt er den Cauchyschon Begriff des Hauptwertes durch einen sehr viel allgemeineren, den er als \(Q\)-Integral bezeichnet, und gelangt zu einer Funktion \(G(x)\), die in dem neuen Sinne die Rolle des Integrals von \(g(x)\) spielt. Nunmehr gelingt es auch, Fourierkoeffizienten und ähnliches als \(Q\)-Integrale zu definieren. Endlich behandelt Verf. die zu (2) inverse Formel \[ f(x)-\frac{a_0}{2}=-\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} g(t) \cos \frac{t-x}{2} dt. \]