Über Folgen analytischer Funktionen. (Q5907482)

Die Verf. dieser bemerkenswerten Arbeit untersuchen die Frage, weichen geometrischen Bedingungen die Stellen gleichmäßiger und ungleichmäßiger Konvergenz einer in einem Gebiet \(G\) konvergenten Folge regulärer Funktionen genügen müssen. Mit Hilfe des \textit{Runge}schen Approximationssatzes und eines bekannten Satzes von \textit{Osgood} finden sie folgende notwendige und hinreichende Bedingung: \(G\) bedeute ein in der \(z\)-Ebene gelegenes, beschränktes, einfach zusammenhängendes Gebiet; \(G_1,G_2,\dots\) bedeuten einfach zusammenhängende Teilgebiete von \(G\), welche in \(G\) überall dicht liegen; die Gesamtheit der keinem \(G_\nu\) angehörenden Punkte von \(G\) heiß\ e \(\Gamma\). Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ eine Folge von analytischen, in \(G\) regulären Funktionen \(f_n(z)\) existiert, welche in jedem der Gebiete \(G_\nu\), gleichmäßig, hingegen in der Umgebung jedes Punktes von \(\Gamma\) ungleichmäßig konvergiert, lautet: Es muß\ ein System von Streifen \(S_1,S_2,\dots\) existieren, welche aus dem Gebiet \(G\) herausführen und ferner so beschaffen sind, daß\ jede beliebig kleine Umgebung eines Punktes von \(\varGamma\) stets von unendlich vielen dieser Streifen getroffen, daß\ hingegen jeder einzelne Punkt von \(\Gamma\) selbst höchstens von einer endlichen Anzahl derselben überdeckt wird. Die Verf. geben weiter eine ähnlich lautende notwendige und hinreichende Bedingung für die Gebiete \(G_\nu\) und die Punktmenge \(\Gamma\), damit noch die Grenzfunktion \(f(z)\) willkürlich vorgeschrieben werden kann. Im dritten Teil dieser Arbeit werden die gefundenen Bedingungen mengentheoretisch untersucht und mit Hilfe neuer, zur \textit{Cantor}schen Theorie analoger Begriffsbildungen durchsichtiger und für die Anwendungen praktisch formuliert. In den umformulierten Bedingungen spielt nur noch die mengentheoretische Struktur von \(\Gamma\) relativ zu \(G\) eine Rolle.