Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. (Q5907511)

Die Arbeit beschäftigt sich mit denjenigen Differenzengleichungen, die aus den klassischen linearen partiellen Differentialgleichungen entstehen, indem man die Differentialquotienten durch die entsprechenden Differenzenquotienten ersetzt. Im ersten Teil der Arbeit wird für selbstadjungierte elliptische Differenzengleichungen mittels elementarer algebraischer Überlegungen die Theorie des Randwertproblems (sowohl für homogene als auch für unhomogene Gleichung) und des Eigenwertproblems durchgeführt. Diese Resultate gestatten eine einfache Anwendung auf eine wahrscheinlichkeitstheoretische Frage beim Problem der Irrwege in einem rechtwinkligen Straßennetz eines beschränken Gebietes. An dem Beispiel der Potentialgleichung wird gezeigt, wie sich die Lösung der Randwertaufgabe verhält, wenn die Maschenweite des Gitters gegen Null konvergiert. Es zeigt sich, daß\ in jedem ganz im Innern des betrachteten Gebietes gelegenen Teilgebiet die Lösungsfunktion samt allen Differenzenquotienten gleichmäßig gegen eine beliebig oft differenzierbare Funktion strebt, die der gestellten Randbedingung genügt. (Die Annahme der Randwerte wird nicht in dem üblichen strengen Sinne, sondern nur ``im Mittel'' gefordert.) Derselbe Konvergenzbeweis wird für das Randwertproblem von \(\Delta \Delta=0\) erbracht. Der zweite Teil der Arbeit handelt von dem Anfangswertproblem bei hyperbolischen Differenzengleichungen, insbesondere von der Frage, ob bei Verfeinerung der Mascheneinteilung die Lösung des Differenzenproblems gegen die des kontinuierlichen Problems strebt. Das Resultat läß\ t sich für \(u_{tt}u_{xx}=0\), \(u(0,x)\) und \(u_t(0,x)\) vorgegeben, so aussprechen: Legt man ein rechteckiges, achsenparalleles Gitter zugrunde, dessen Maschenweite in der \(t\)Richtung gleich \(h\), in der \(x\)-Richtung gleich \(\kappa h\) mit konstantem \(\kappa\) ist, so herrscht für \(\kappa<1\) mit gegen Null konvergierendem \(h\) im allgemeinen keine Konvergenz; für \(\kappa \geqq 1\) hingegen konvergiert die Lösungsfunktion samt ihren beiden ersten Ableitungen gleichmäßig gegen die Lösung des Anfangswertproblems der Differentialgleichung. In einem Anhang wird die der Wärmeleitungsgleichung entsprechende Differenzengleichung explizite gelöst; durch Grenzübergang ergibt sich daraus unmittelbar die Lösung des Differentialgleichungsproblems. -- Es wird gezeigt, wie die für die einfachsten Differentialgleichungen angestellten Überlegungen ausreichen, um das Anfangswertproblem der allgemeinsten linearen hyperbolischen Differentialgleichung zu lösen.