Über isoperimetrische Probleme bei konvexen Polyedern. (Q5907526)

Fortsetzung der Untersuchungen, über die in F. d. M. 53, 480 (JFM 53.0480.*) berichtet wurde. -- Ist \(s\) die obere Grenze des Abstandes zweier Punkte innerhalb eines konvexen Körpers \(\mathfrak K\), \(r\) die obere Grenze der Halbmesser der ganz in \(\mathfrak K\) enthaltenen Kugeln und \(\nu=\frac sr\), so bleibt \(\frac \kappa \nu\) für alle \(\mathfrak K\) oberhalb einer positiven unteren Grenze. Mit diesem Hilfssatze, der ein weiterhin wichtiges Vielflach als eine gewisse kleinste konvexe Punktmenge erkennen läßt, beweist Verf. den Satz, daß\ im Bereiche der Vielflache von gegebener Flächen- oder Eckenzahl stets ein bestes vorhanden ist. Dagegen lassen sich Vielflach-Typen angeben, innerhalb deren es kein bestes Vielflach gibt. Von dieser Art ist z. B. der Dreikantstypus der Vielflache \(\mathfrak P'\), mit \(e+f\) Flächen, die man aus anderen \(\mathfrak P\) mit \(e\) Ecken und \(f\) Flächen, \(e > f\), durch geeignetes Abschneiden der Ecken herleitet. Ein bestes \(\mathfrak P'\) müßte nämlich einer Kugel umbeschrieben sein; nun zeigt aber Verf., eine Frage von \textit{Steiner} beantwortend, daß\ umschreibbare konvexe Vielflache einer Bedingung genügen müssen, der \(\mathfrak P'\) nicht genügt: Greift man bei ihnen \(p\) Flächen heraus, Flächen, die mit wenigstens von denen keine zwei benachbart sind, so ist die Anzahl der der Flächen, die mit wenigstens einer der herausgegriffenen benachbart sind, \(\geqq p\). Verf. behandelt sodann die Frage, ob ein innerhalb seines Typus bestes Vielflach die \textit{Lindelöf}sche Bedingung erfüllen muß\, einer Kugel so umbeschrieben zu sein, daß\ jede Fläche von der Kugel im Schwerpunkte berührt wird. Bei Dreikantstypen trifft das zu; daß\ es nicht allgemein notwendig ist, erweist Verf. an einem Beispiele, einem sechseckigen Siebenflach, welches die Lindelöfsche Bedingung nicht erfüllt, in dessen Typus \(\mathfrak U\) es aber ein bestes Vielflach \(\mathfrak D\) gibt. Zum Beweise des Vorhandenseins von \(\mathfrak B\) gibt er, was hinreicht, in \(\mathfrak U\) ein besseres Vielflach an als die sechsseitige Doppelpyramide, die das beste Vielflach unter den Grenztypen von \(\mathfrak U\) vorstellt.