On the law of large numbers. (Q5907535)

Die vorliegende Arbeit erweitert Resultate, die man \textit{A. Khintchine} [Math. Ann. 96, 152--168 (1926; JFM 52.0514.02)] verdankt, nach zwei Richtungen hin: Es bezeichne \(m(n)\) die Anzahl günstiger Ergebnisse bei \(n\) Versuchen und \(p_i\) die Wahrscheinlichkeit für ein günstiges Ergebnis beim \(i\)-ten Versuch. Die Abweichung \(\mu(n)\) wird definiert durch \[ \mu(n)=m(n)-\sum_1^n p_i. \] Verf. beweist, daß, wenn die Funktion \[ E_n=\sum_1^n 2p_i(1-p_i) \to \infty \;\text{bei}\;n \to \infty, \] in dem von Khintchine definierten Sinne eine \textit{genaue obere Schranke} für \(|\mu(n)|\) ist Khintchine hat dies unter der Annahme \[ 0\leq a\leq p_i\leq 1-a <1 \] bewiesen. Verf. beweist ferner, daß, wenn \(f(n)\) eine beliebige positive wachsende Funktion von \(n\) bedeutet, die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Ungleichung \[ |\mu(n)| \geq f(n) \] für eine unendliche Folge von Werten \(n\) erfüllt ist, entweder Null oder Eins ist, und er leitet her, daß diese Wahrscheinlichkeit gleich Eins ist, wenn \[ f(n)=\chi_k(n)=\sqrt{E_n \left(l_2E_n+\frac 12 l_3E_n+\sum_{\nu=4}^k l_\nu E_n \right)} \;(k \geq 4) \] ist mit \[ l_1E=\log E,\;l_\nu E=\log l_{\nu-1}E. \] Die diesem Satz zugrunde liegende erweiterte Definition der Wahrscheinlichkeit wird mittels eines iterierten Limes gegeben. Die Arbeit enthält viele weitere interessante Resultate, unter denen das folgende hervorgehoben sei: Werden die Zahlen \(p_i\) \((1 \leq i \leq n)\) so variiert, daß die Summen \(\sum_1^n p_i\) und \(\sum_1^n p_i^2\) beide konstant sind, dann hat, wenn die Wahrscheinlichkeit für \(m(n)\geq m_0\) ein Maximum oder ein Minimum ist, jede der Zahlen \(p_i\) einen der vier Werte \(0,p',p'',1\).