Note on numerical integration. (Q5907546)

Hat die Kurve, deren Flächeninhalt man mit einer der üblichen Quadraturformeln bestimmen will, eine zur \(Y\)-Achse parallele Tangente, so versagen diese Formeln naturgemäß\ mehr oder weniger. Werden insbesondere die Endordinaten von der Kurve in den Punkten \(+1\) und \(-1\) berührt, so kann man zur näherungsweisen Darstellung der Kurve die Funktion \[ y=\sqrt{1- x^2}(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2n-1}x^{2n-1}) \] benutzen. Für die Fläche, die durch die zu dieser Näherungsfunktion gehörende Kurve und die \(X\)-Achse begrenzt wird, läß\ t sich mittels \(n\) Ordinaten, die man an den Stellen \[ x=\cos \frac{k \pi}{n+1} \;(k=1,2,\dots,n) \] zu wählen hat, ein exakter Wert \[ F=l \sum_{k=1}^n A_k y_k \] angeben, wo \(l\) der Abstand der beiden Grenzordinaten und \[ A_k=\frac{\pi}{2(n+1)} \sin \frac{k \pi}{n+1} \] ist.