Note on series of positive terms. (Q5907750)

Es werden folgende Sätze bewiesen: \textit{Satz} I. Es sei \(\varkappa > 1\), \(\lambda_n > 0\), \(a_n > 0\) (\(n =1,2,\ldots )\); setzt man: \[ A_n=\sum_{\nu=1}^n \lambda_\nu a_\nu, \;\;\varLambda_n=\sum_{\nu=1}^n \lambda_\nu, \tag{1} \] so folgen aus der Konvergenz von \[ \sum_{n=1}^\infty \lambda_n a_n^\varkappa \tag{2} \] die Ungleichungen: \[ \sum_{n=1}^\infty \lambda_n\left(\frac{A_n}{\varLambda_n}\right)^{\varkappa} \leqq \frac{\varkappa}{\varkappa-1}\sum_{n=1}^\infty \lambda_na_n \left(\frac{A_n}{\varLambda_n}\right)^{\varkappa-1} \leqq \left(\frac{\varkappa}{\varkappa-1}\right)^{\varkappa}\sum_{n=1}^\infty \lambda_na_n^{\varkappa}. \tag{3} \] \textit{Satz} II. Setzt man im obigen Satze: \[ A_n = \frac{\lambda_na_n}{\varLambda_n}+\frac{\lambda_{n+1}a_{n+1}}{\varLambda_{n+1}} + \cdots, \tag{1}\('\) \] so gilt: \[ \sum_{n=1}^\infty \lambda_nA_n^{\varkappa} \leqq \varkappa \sum_{n=1}^\infty \lambda_na_n A_n^{\varkappa-1} \leqq \varkappa^\varkappa \sum_{n=1}^\infty \lambda_n a_n^\varkappa. \] In beiden Sätzen können die Konstanten nicht durch kleinere ersetzt werden; ferner ist für \(k \geqq s \geqq 1\): \[ \varkappa^s(\varkappa-1)^{1-s}\sum_{n=1}^\infty \lambda_na_n^s \left(\frac{A_n}{\varLambda_n}\right)^{\varkappa-s} \tag{I} \] bzv. \[ \varkappa^s \sum \lambda_na_n^sA_n^{\varkappa-s} \tag{II} \] monoton wachsend in \(s\).