Sur les fonctions conjuguées. (Q5907886)

Der Verf. beweist, daß die konjugierte Reihe zur Fourierschen Reihe einer Funktion \(f(x)\), die mit ihrer \(p\)-ten Potenz (\(p > 1\)) \(L\)-integrierbar ist, Fouriersche Reihe einer Funktion \(\bar{f} (x)\) mit derselben Eigenschaft ist. Der Beweis stützt sich auf die Ungleichung: \[ \int\limits |V(r,\theta)|^p\,d\theta\leqq M^p_p\int\limits_0^{z_r}|U(r,\theta)|^p\,d\theta \] (\(U (r, \theta)\) und \(V (r, \theta)\) bedeuten zwei konjugierte Potentialfunktionen, \(V(0, \theta) = 0\)), die vermittels des Cauchyschen Integralsatzes bewiesen wird. Als weitere Folgerungen ergeben sich u. a.: \begin{itemize} \item[a)] in Ausdehnung des Parsevalschen Satzes auf die Partialsummen \(s_n(x)\) der Funktion \(f (x)\), die mit ihrer \(p\)-ten Potenz integrierbar ist, \[ \lim_{n\to\infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}|f(x)-s_n(x)|\,dx=0, \] \item[b)] \(\frac 1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,dx=\frac {a_0\alpha_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\alpha_n+b_n\beta_n)\), \item[c)] \(\frac 1{2\pi}\left|\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(x)g(y) \operatorname{ctg}\frac {x-y}2\,dx\,dy\right|\leqq M_p \left(\int\limits_0^{2\pi}|f(x)^p|\,dx\right)^{\frac 1p} \left(\int\limits_0^{2\pi}|g(x)|^q\,dx\right)^{\frac 1q}\), \end{itemize} wo \(g(x)\) in b) und c) eine Funktion bedeutet, die mit ihrer \(q\)-ten Potenz \(L\)-integrierbar ist \(\left(\dfrac 1p +\dfrac 1q =1\right)\), \(a_n\), \(b_n\) bzw. \(\alpha_n\), \(\beta_n\) die Fourierkonstanten von \(f (x)\) bzw. von \(g(x)\) sind, und im Doppelintegral der Cauchysche Hauptwert zu nehmen ist. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Resultate ausgedehnt auf den Fall eines unendlichen Intervalls, wobei z. B. c) jetzt lautet: \[ \left|\,\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{f(x)g(y)}{x-y}\,dx\,dy\right|\leqq M_p \left(\,\int\limits_{-\infty}^\infty|f(x)|^p\,dx\right)^{\frac 1p} \left(\,\int\limits_{-\infty}^\infty|g(x)|^q\,dx\right)^{\frac 1q}, \] und zum Schluß werden analoge Sätze für die entsprechenden Bilinearformen von unendlich vielen Veränderlichen aufgestellt. Vgl. auch die nachstehend referierte Arbeit desselben Verf.