A note on Fourier transforms. (Q5907889)

\( f (x)\) heißt zur Klasse \(L^p\) gehörig, wenn es in jedem endlichen Intervall Lebesgue-integrabel ist und \({\displaystyle\int\limits_0^\infty}|f(x)|^p\,dx \) existiert. 1. Satz: Ist \(f(x)\) gerade, gehört \(f(x)\) zu \(L^p\) (\(1 < p \leqq 2\)) und ist \[ \int\limits_0^\infty |f(x + h) - f(x - h)|^p\, dx = O(h^{\alpha p}) \qquad(0< \alpha \leqq 1) \] für \(h \to 0\) [Bedingung \((\alpha, p)\)], so gehört die Fouriersche Cosinustransformierte \(F (x)\) von \(f (x)\) zu \(L^p\) mit \[ \frac p{p+\alpha p-1} <\beta\leqq \frac p{p-1}\,. \] 2. Satz: Genügt \(f(x)\) der Bedingung \((\alpha, p)\) mit \[ 1< p \leqq 2,\quad \frac1{p-\frac12} < \alpha < \frac1p\,, \] so genügt es auch der Bedingung \(\left(\alpha-\dfrac1p +\dfrac1{r-\varepsilon}, r\right)\) mit \(p<r<\dfrac p{1-\alpha p}\) und beliebigem positivem \(\varepsilon\). (Siehe auch Abschn. IV, Kap. 7.)