On integral functions with real negative zeros. (Q5907899)

Die zu betrachtenden Funktionen sind von einer Ordnung kleiner als 1 und durch folgendes Produkt darstellbar: \[ f(z)=\prod_1^{\infty}\left(1+\frac{z}{a_n}\right). \] Es sei \(a_{n+1}\geqq a_n\) für alle \(n\). Es sei \(n(r)\) die Anzahl der Nullstellen mit \(a_n\leqq r\). Es sei \(n(r)\sim\lambda r^{\rho}\), \(0 <\varrho < 1\), \(\lambda > 0\). Satz 1. Es ist für \(x >\) 0 und \(x\to\infty\) \[ \log f(x)\sim \pi\lambda\operatorname{cosec}(\pi\varrho)\cdot x^{\rho}. \] Die Umkehrung dieses Satzes hat Valiron schon 1914 angegeben (vgl. die Notiz des Verf. [Lond. Math. Soc. (2) 27, 137--150 (1927; JFM 53.0313.02)]), insbesondere S. 150). In der vorliegenden Arbeit wird diese Umkehrung erneut gefunden. Satz 2. Es ist für jedes \(\varepsilon>0\) und genügend große \(x>0\), \(x\to\infty\) \[ \log |f(- x)| >(\pi\lambda\operatorname{cot} \pi\varrho+\varepsilon)x^{\rho}. \] Ist \(\eta> 0\) eine zweite positive Zahl, so ist \[ \log |f(- x)|> (\pi\lambda\operatorname{cot}\pi\varrho-\varepsilon)x^{\rho}, \] falls \(0 < x < X\), \(X > X_0(\varepsilon,\eta)\), mit Ausnahme einer \(x\)-Menge von einem Maß \(<\eta X\). Für \(0 <\varrho <\frac12\) gilt auch die Umkehrung. Für \(\varrho=\frac12\) gilt sie nicht. Für \(\frac12<\varrho<1\) muß Verf. diese Frage unentschieden lassen.