Sur la représentation conforme. (Q5907920)

Es handelt sich einesteils um bemerkenswerte Verallgemeinerungen eines Satzes von Lichtenstein und andernteils um Sätze, die im Zusammenhang stehen mit den Untersuchungen von Lusin und Privaloff über den Satz von Fatou. Wir zitieren von jeder Gruppe als Beispiel je einen der in der Note nur formulierten, nicht aber bewiesenen Sätze. I. Es seien \(D\) und \(D'\) zwei Bereiche, je von einer einfachen, geschlossenen Jordankurve \(T\) resp. \(T'\) mit beschränkter Krümmung begrenzt. Bei einer konformen Abbildung von \(D\) auf \(D'\) ist das Verhältnis der entsprechenden Bogen von \(T\) resp. \(T'\) beschränkt. (Man vgl. Lichtenstein. Zur konformen Abbildung einfach zusammenhängender schlichter Gebiete; Arch. d. Math. u. Phys. (3) 25 (1917), 179-180; F. d. M. 46, 547 (JFM 46.0547.*).) II. Es sei \(D\) ein einfach zusammenhängender Bereich von der Fläche 1, begrenzt von \(F\). Wir bezeichnen als relative Entfernung \(d_z(z_1,z_2)\) zweier Punkte \(z_1\), \(z_2\) von \(D\) die untere Grenze der Längen aller in \(D\) verlaufenden Polygonzüge, die \(z_1\) mit \(z_2\) verbinden. Der Bereich \(D\) werde mittelst der Funktion \(w=f(z)\) auf den Einheitskreis abgebildet, wobei \(f(z_0)=0\). Das Maß der Menge aller derjenigen Punkte der Peripherie \(|w|=1\), die den Punkten \(z\) von \(F\) mit \(d_z(z_0, z) >\varrho\) entsprechen, ist \(\dfrac{k_3}{\varrho}\), wobei \(k_3\) eine von \(\varrho\) unabhängige Konstante bedeutet.