Sur les fonctions hyperharmoniques. (Q5907956)

Der Realteil einer analytisch-regulären Funktion von zwei komplexen Veränderlichen \(z_1\), \(z_2\) heißt hyperharmonisch. Es ist (\(z_1 = x_1 + iy_1\), \(z_2 = x_2 + iy_2\)): \[ \begin{aligned} &\varDelta_1u= u_{x_1x_1} + u_{y_1y_1}=0,\quad \varDelta_2u= u_{x_2x_2} + u_{y_2y_2}=0, \\ &\varDelta_3u= u_{x_1x_2} + u_{y_1y_2}=0,\quad \varDelta_4u= u_{x_1y_2} - u_{x_2y_1}=0. \end{aligned} \] Gezeigt wird, daß aus \[ \begin{aligned} &\varDelta_\nu u=c_\nu\quad\text{für}\quad \nu=1,\, 2,\, 3 \\ \noalign{\noindent auch} &\varDelta_4 u = c_4 \end{aligned} \] folgt. Transformiert man auf Polarkoordinaten und führt an Stelle von \(\varDelta_3\), \(\varDelta_4\) geeignete lineare Verbindungen \(\nabla_1\) und \(\nabla_2\) ein, so zeigt sich, daß die drei Gleichungen \[ \varDelta_1 u = \varDelta_2 u=\nabla_1u=0 \] genügen, damit \(u\) hyperharmonisch ist. Die durch die Gleichungen \(\varDelta_1v= \varDelta_2 v = 0\) definierten doppelt harmonischen Funktionen lassen sich in eine trigonometrische Doppelreihe entwickeln, die sich im Falle einer hyperharmonischen Funktion entsprechend spezialisiert. Für die Klasse \((v)\) wird die Poissonsche Darstellung und die Lösung des einfachsten Dirichletschen Problems gegeben. Damit die Lösung \(v\) der Dirichletschen Aufgabe zugleich hyperharmonisch ist, muß die gegebene Randfunktion gewissen Orthogonalitätsbedingungen genügen. Die Darstellung ist ziemlich breit, zumal da wesentliche Teile der Arbeit als bekannt gelten können.