Sur une classe d'équations fonctionnelles. (Q5907959)

Die hyperbolische Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =az +b\frac{\partial z}{\partial x} +c \frac{\partial z}{\partial y} +f \] ist von einer Reihe von Forschern unter verschiedenen Rand- und Anfangsbedingungen behandelt worden. Man spricht demgemäß von einem Darboux-Picardschen (I), einem Cauchyschen (II), einem Picardschen (III) und einem Goursatschen (IV) Problem. In der vorliegenden Arbeit werden die analogen Probleme für die allgemeinere Gleichung \[ \begin{aligned} \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =&\varrho\left\{ a_1(x,y)z_{M_1} +b_1(x,y)\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{M_1} +c_1(x,y) \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{M_1} \right. \\ &\left.{}+a_2(x,y) z_{M_2} +b_2(x,y)\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) _{M_2} +c_2(x,y)\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{M_2}\right\} +f(x,y) \end{aligned} \] behandelt; die Indizes \(M_1\) und \(M_2\) sollen bedeuten, daß die betr. Funktion nicht für den Punkt \(M (x, y)\), sondern für den zugeordneten Punkt \[ M_1 : x_1 = \omega_1 (x, y),\;y_1=\pi_1 (x, y) \quad\text{bzw.}\quad M_2 : x_2 =\omega_2(x,y),\;y_2 = \pi_2 (x, y) \] zu nehmen ist. Die Resultate lassen sich auf gewisse Integrodifferentialgleichungen verallgemeinern, wie am Beispiel des Goursatschen Problems gezeigt wird (V). Der Beweis der Existenztheoreme beruht auf der Picardschen Methode der sukzessiven Approximationen. I. Es möge zwei positive Zahlen \(\lambda\) und \(\mu\) geben, so daß, wenn \(M\) in dem Rechteck \(R\) mit den Ecken \((\lambda, \mu)\), \((\lambda,-\mu)\), \(( \lambda, - \mu)\), \((- \lambda, \mu)\) liegt, \(M_1\) und \(M_2\) ebenfalls dort liegen. In \(R\) seien die Funktionen \(\omega_1\), \(\pi_1\); \(\omega_2\), \(\pi_2\); \(a_1\), \(\ldots\), \(c_2\); \(f\) stetig. Dann gibt es für hinreichend kleines \(\varrho\) in \(R\) eine eindeutige reguläre Lösung (d. h. \(z\) und die Ableitungen erster Ordnung sind stetig), die auf den Strecken \((-\lambda, 0)\) \((\lambda, 0)\) bzw. \((0,- \mu)\) \((0, \mu)\) vorgeschriebene Werte annimmt. Spezialfall: Liegen \(M_1\) und \(M_2\) sogar in dem Rechteck mit den Ecken \((x, y)\), \((x, - y)\), \((- x, - y)\), \((- x, y)\), so existiert in \(R\) eine Lösung für \textit{jedes} \(\varrho\). Hierzu werden zwei Beispiele behandelt. II. Vom Nullpunkt \(O\) gehe eine Kurve \(y = \alpha(x)\) aus, die von jeder Parallelen zur \(x\)- und \(y\)-Achse in nur einem Punkt getroffen wird. Liegt \(M\) in dem Rechteck \(0 \leqq x\leqq\lambda\), \(0\leqq y\leqq\alpha(\lambda)\), so sollen \(M_1\) und \(M_2\) ebenfalls dort liegen. Dann gibt es für hinreichend kleines \(\varrho\) eine eindeutige reguläre Lösung, die auf der Kurve den Cauchyschen Bedingungen genügt, d. h. deren Wert in \(O\) gegeben ist, während die Werte ihrer ersten Ableitungen längs der Kurve vorgeschrieben sind. Spezialfall: Die Punkte \(M_1\) und \(M_2\) sollen in dem Dreieck zwischen der Kurve und den Parallelen durch \(M\) zu den Achsen liegen. Dann gibt es eine Lösung für jedes \(\varrho\). Eine Lösung oberhalb der Kurve existiert auch, wenn \(M_1\) und \(M_2\) in dein krummlinigen Dreieck \(ONN''\) liegen, wobei \(N\) und \(N''\) die Schnittpunkte der Parallelen zur \(x\)-Achse durch den oberhalb der Kurve gelegenen Punkt \(M\) mit der Kurve und der \(y\)-Achse bedeuten. Auf das Cauchysche Problem läßt sich die Integration der Gleichung \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =\varrho\left\{ a(x,y) z + b(x,y)\frac{\partial z}{\partial x} +c\frac{\partial z}{\partial y}\right\} +f(x,y) \] zurückführen, wenn für die Punkte \(P (x, y)\) der Kurve die Bedingungen vorgeschrieben sind: \[ \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_P =k_1(x) z_P +l_1(x),\quad \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_P =k_2(x) z_P +l_2(x). \] III. Von \(O\) gehe wieder eine Kurve \(x = \beta(y)\) aus, die von jeder Parallelen zur \(x\)- und \(y\)-Achse in nur einem Punkt geschnitten wird. Befindet sich \(M\) in dem Rechteck \(0\leqq x\leqq\beta(\mu)\), \(0\leqq y\leqq\mu\), so sollen auch \(M_1\) und \(M_2\) dort liegen. Dann gibt es für hinreichend kleines \(\varrho\) eine Lösung, die auf der \(x\)-Achse (einer Charakteristik) und dem Kurvenbogen vorgeschriebene Werte annimmt. Spezialfall: Befinden sich \(M_1\) und \(M_2\) in dem aus den Achsen und den Parallelen zu den Achsen durch \(M\) gebildeten Rechteck und zwar auf derselben Seite der Kurve wie \(M\), so gibt es zu jedem \(\varrho\) eine Lösung; diese läßt sich über die Kurve hinaus fortsetzen. Eine Lösung existiert auch, wenn \(M_1\) und \(M_2\) in dem krummlinigen Dreieck \(MNN_1\) liegen, wobei \(N\) und \(N_1\) die Schnittpunkte der Kurve mit den Parallelen zur \(x\)- und \(y\)-Achse durch \(M\) sind. IV. Wenn \(M\) in dem Rechteck \(R \): \(0 \leqq x \leqq\lambda\), \(0\leqq y\leqq\mu\) liegt, so sollen auch \(M_1\) und \(M_2\) dort liegen. Dann gibt es für hinreichend kleines \(\varrho\) eine Lösung, die längs zweier von \(O\) ausgehenden Strahlen \(y = \alpha x\) und \(x = \beta y\) mit \(\alpha\beta < 1\) vorgeschriebene Werte annimmt und innerhalb \(R\) gültig ist. Unter spezielleren Voraussetzungen über die Lage von \(M_1\) und \(M_2\) gelten weitere Existenztheoreme. V. Die obigen Sätze lassen sich auf allgemeinere Differentialgleichungen der Form \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =\varrho\sum_{i=1}^n\left\{ a_i(x,y)z_{M_i} +b_i(x,y)\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{M_i} +c_i(x,y) \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{M_i} \right\} +f(x,y), \] unter gewissen Voraussetzungen sogar für den Fall \(n = \infty\), weiterhin auf Integrodifferentialgleichungen der Form \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =\varrho\iint\limits_{D_{xy}} \left\{ A(x,y;s,t)z(s,t) +B(x,y;s,t)\frac{\partial z}{\partial s} +C(x,y;s,t) \frac{\partial z}{\partial t} \right\}\,ds\,dt +f(x,y) \] übertragen, wobei \(D_{xy}\) ein dem Punkt \((x, y)\) zugeordnetes Gebiet ist. Wird z. B. \(D_{xy}\) begrenzt von den Geraden \(Y = \alpha X\), \(X = \beta Y\) und \(X = x\), \(Y = y\), so gibt es eine Lösung, die auf dem ersteren Geradenpaar vorgeschriebene Werte annimmt.