On an arithmetic function. (Q5908117)

Verf. betrachtet im Anschluß an \textit{P. A. MacMahon} [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 22, 404--411 (1924; JFM 50.0083.02)] die Entwicklungskoeffizienten \(a_n\) in \[ f(s) = \prod_{n=2}^\infty \frac{1}{1 - n^{-s}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s} \qquad (\text{für } \sigma > 1), \] deren zahlentheoretische Bedeutung die ist, daß sie die Darstellungen von \(n\) als Produkt ganzer Faktoren \(\ge 2\) abzählen (\(a_1 = 1\)). Verf. gelangt mit Hilfe von Betrachtungen, die im Reellen verlaufen und bei denen Ergebnisse von \textit{S. Wigert} [Acta Math. 37, 113--140 (1914; JFM 45.0328.01)] und \textit{S. Ramanujan} [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 14, 347--409 (1915; JFM 45.1248.01)) herangezogen werden, zu folgenden Abschätzungen: \[ \frac{\log a_n}{\log n} < 1 - \frac{2 \log \log \log n}{\log \log n} + O\left(\frac{\log \log \log \log n}{(\log \log n)^2}\right). \] 2. Für eine unendliche Folge von \(n\)-Werten ist: \[ \frac{\log a_n}{\log n} > 1 - \frac{2 \log \log \log n}{\log \log n} + O\left(\frac{1}{(\log \log n)^2}\right). \] Im zweiten Teil der Arbeit teilt der Verf. einige Ergebnisse über die Funktionen \[ A(x) = \sum_{n\leqq x} a_n \quad \text{ und } \quad B (x) = \int_1^x A(u)\, du \] ohne vollständige Beweise mit. Die Beweise beruhen auf funktionentheoretischen Betrachtungen.