Sur les séries semi-convergentes. (Q5908132)

\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\) und \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a^{\prime}_n\) seien bedingt konvergente Reihen mit reellen Gliedern. Sie heißen \textit{unabhängig}, wenn es zu jeder beliebigen Wahl der vier Größen \(\varkappa\leqq\mu\) und \(\varkappa'\leqq\mu'\) eine Umordnung \(\nu_1,\nu_2,\ldots,\nu_n,\ldots\) der natürlichen Zahlenfolge gibt, so daß \[ \varliminf\sum_{n=1}^{\infty} a_{\nu_n}=\varkappa, \;\varlimsup\sum_{n=1}^{\infty} a_{\nu_n}=\mu, \;\varliminf\sum_{n=1}^{\infty} a^{\prime}_{\nu_n}=\varkappa', \;\varlimsup\sum_{n=1}^{\infty} a^{\prime}_{\nu_n}=\mu', \] ist. Es wird bewiesen, daß bei abhängigen Reihen die Umordnungen \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{\nu_n}\) und \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a^{\prime}_{\nu_n}\) entweder gleichzeitig konvergieren oder gleichzeitig divergieren und daß, wenn \[ \sum a_n=s,\quad \sum a^{\prime}_n=s',\quad \sum a_{\nu_n}=\sigma,\quad \sum a^{\prime}_{\nu_n}=\sigma' \] ist, für jede Umordnung (\(\lambda_n\)) der natürlichen Zahlenfolge, die konvergente Reihen liefert, \[ (\sigma' - s')\sum a_{\lambda_n} + (s-\sigma)\sum a^{\prime}_{\lambda_n} = s\sigma'- s'\sigma \tag{1} \] ist. Daraus folgt dann sehr einfach der Satz von \textit{Steinitz} (J. f. M. 143 (1913), 128-175; F. d. M. 44, 287 (JFM 44.0287.*)): \(\sum(a_n + ia^{\prime}_n)\) sei bedingt konvergent, \(a_n\) und \(a^{\prime}_n\) seien reell. Wenn \(\sum a_n\) und \(\sum a^{\prime}_n\) unabhängig sind, so läßt sich \(\sum(a_n + ia^{\prime}_n)\) zu beliebig vorgegebener Summe, wenn \(\sum a_n\) und \(\sum a^{\prime}_n\) aber abhängig sind, zu vorgegebener Summe der Beziehung (1) umordnen.