Proof of an inequality. (Q5908133)

Einfacher Beweis des Satzes von \textit{T. Carleman} [5. Kongreß der Skandinavischen Mathematiker in Helsingfors, 4.--7. Juli 1922. Helsingfors: Akadem. Buchh., 181--196 (1923; JFM 49.0705.04)): Für \(a_n\geq 0\) ist \[ \sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\ldots a_n)^{\frac1n}<e\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \] wenn die Reihe auf der rechten Seite nach einem Werte konvergiert, der größer als Null ist. Der Satz wird falsch, wenn man \(e\) durch eine kleinere Konstante ersetzt.