Sulle relazioni ricorrenti di ordine infinito. (Q5908171)

Nachtrag zu F. d. M. 51, 240 (JFM 51.0240.*). Verf. scheint folgendes sagen zu wollen: Wenn die Polynome \(P_n(x)\) durch die Rekursionsformeln \[ \begin{aligned} &aP_2(x) = xP_1(x)+ 2a_1, \\ &aP_{n+1}(x) = xP_n(x) - a_1P_{n-1}(x) - \cdots - a_{n-1}P_1(x) + (n + 1) a_n\quad (n \geqq 2) \end{aligned} \] definiert werden, wobei \(P_1 (x) = -\dfrac xa\), wenn ferner die Potenzreihe \[ \varphi (z) = a_1z + a_2z^2+ a_3z^3 + \cdots \] den Konvergenzradius \(\varrho\) hat, wenn endlich \(\zeta\) die absolut kleinste im Kreis \(| z | < \varrho\) gelegene Nullstelle der Funktion \(a - xz+ z\varphi (z)\) ist (sofern es eine solche gibt), so ist \[ \varlimsup_{n\to\infty}\root n\of{|P_n(x)|}=\frac1{|\zeta|}\,. \] Das folgt aus der Identität \[ \frac{-a+z^2\varphi'(z)}{a-xz+z\varphi(z)}=-1+P_1(x)z +P_2(x)z^2+\cdots. \] Eine Ausnahme wird für solche \(x\) eintreten, für welche die Nullstelle zugleich Nullstelle des Zählers ist.