Sur les singularités des séries de fractions rationnelles. (Q5908173)

Die Reihe \[ \sum_1^\infty\frac{A_\nu}{z-\alpha_\nu}\,, \tag{\text{*}} \] worin \(z\) eine komplexe Veränderliche, \(A_\nu\) und \(\alpha_\nu\) komplexe Zahlen bedeuten, konvergiert unter der Voraussetzung der Konvergenz der Reihe \(\sum\limits_1^\infty | A_\nu|\) in jedem Gebiete \(\mathfrak G\) der komplexen \(z\)-Ebene, das keinen Punkt \(\alpha_\nu\) enthält, gegen eine analytische Funktion \(f (z)\). Hier entsteht naturgemäß das Problem, ob die Pole \(\alpha_\nu\) der einzelnen Glieder von (*) auch Singularitäten von \(f(z)\) sein müssen. Die nähere Untersuchung dieser Frage führt den Verf. zu sehr bemerkenswerten Resultaten von großer Allgemeinheit. Ist \(\alpha_\nu\) äußerer Punkt von \(\mathfrak G\), so braucht \(f(z)\) dort bekanntlich (vgl. \textit{Wolff}, 1921; F. d. M. 48, 320 (JFM 48.0320.*)) keine Singularität zu besitzen; Verf. betrachtet nun den schwierigen Fall, in welchem der zu untersuchende Punkt \(\alpha_\mu\) ein Randpunkt von \(\mathfrak G\) ist. Wenn \(\alpha_\mu\) der Peripherie eines Kreises angehört, dessen Inneres in \(\mathfrak G\) liegt, so besitzt \(f (z)\) (und zwar der durch (*) erklärte Zweig) nach \textit{Poincaré} (Acta Soc. sc. Fenn. 12 (1883), 341-350; F. d. M. 15, 341 (JFM 15.0341.*)) im Punkte \(\alpha_\mu\) eine Singularität. Dies muß, wie Verf. u. a. zeigt, bereits eintreten, wenn \(\alpha_\mu\) ein erreichbarer Randpunkt von \(\mathfrak G\) ist. Der Beweis läßt sich unter der Annahme der Konvergenz von \(\sum |A_m| \log |A_m|\) erheblich vereinfachen, wird aber auch unter der eingangs genannten schwächeren Voraussetzung vollständig durchgeführt. Ist \(\alpha_\mu\) unerreichbar, so braucht \(f(z)\) in \(\alpha_\mu\) in keinem Zweige eine Singularität zu besitzen. Verf. konstruiert Beispiele mit dieser und weiteren interessanten Eigenschaften.