The operational calculus. (Q5908208)

Es wird eine gewisse Klasse von Differentialoperatoren, wie sie insbesondere bei den von \textit{Heaviside} benutzten Methoden ohne ausreichende Begründung verwendet werden, für eine bestimmte Klasse von Funktionen, nämlich für die \(f\), die mit ihrem Quadrat in jedem endlichen Intervall \textit{Lebesgue}-integrabel und für große \(|x|\) gleich \(O(x^k)\) sind, definiert. Der (schon oft benutzte) Grundgedanke besteht darin, die Funktion zunächst durch ihr \textit{Fourier}integral darzustellen: \[ f(x)=\frac 1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}du\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\xi)e^{iu(\xi-x)}\,d\xi, \] wobei die Variable nur noch in \(e^{iu(\xi-x)}\) vorkommt, und zu beachten, daß für letztere Funktion die Operation \(\dfrac{d^n}{dx^n}\) gleichbedeutend ist mit der Multiplikation mit \((- i\,u)^n\). Es liegt also nahe, wenn \(H(z)\) eine für alle rein imaginären \(z\) definierte Funktion ist, die Operation \(H\left(\dfrac{d}{dx}\right)f\) zu definieren durch \[ \frac 1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}du\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\xi)H(-iu)e^{iu(\xi-x)}\,d\xi. \] Da nun aber das \textit{Fourier}integral für die in Betracht gezogenen \(f\) nicht zu konvergieren braucht, so bildet man statt seiner das folgende: \[ f_\lambda(x)=\frac 1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)\,d\xi \int\limits_{-\infty}^{+\infty}F_\lambda(u)e^{iu(\xi-x)}\,du, \] wo \(F_\lambda(u)\) eine Funktion ist, die für \(|u|>\lambda+1\) gleich 0, für \(|u|<\lambda\) gleich 1 ist und in den Intervallen \(\lambda\leqq |u|\leqq \lambda +1\) einen die Werte 1 und 0 verbindenden Verlauf hat. Dies kommt darauf hinaus, daß man von dem durch das \textit{Fourier}integral dargestellten Spektrum der Funktion \(f\) nur die Schwingungen bis etwa zur Frequenz \(\lambda+ 1\) betrachtet. \(f_\lambda(x)\) konvergiert für \(\lambda \to \infty\) im Mittel gegen \(f(x)\). Nun wird definiert: \[ H\left(\frac d{dx}\right)f_\lambda(x)=\frac 1{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)\,d\xi \int\limits_{-\infty}^{+\infty}F_\lambda(u)H(-iu)e^{iu(\xi-x)}\,du \] und \[ H\left(\frac d{dx}\right)f(x)=\;\text{limes im Mittel von} \;H\left(\frac d{dx}\right)f_\lambda(x) \;\text{für} \;\lambda \to \infty. \] Diese Funktion existiert sicher, wenn \(H(z)\) im Unendlichen beschränkt ist und seine sämtlichen Ableitungen dort verschwinden. Ein solcher Operator \(H\left(\dfrac d{dz}\right)\) heißt nichtsingulär. Die Aufeinanderfolge zweier Operatoren \(H_1\left(\dfrac d{dz}\right)\) und \(H_2\left(\dfrac d{dz}\right)\) ist gleichbedeutend mit der Anwendung von \(H_1\cdot H_2\left(\dfrac d{dz}\right)\). Ist \(H(z)\) für \(|z| < r\) mit \(r > \lambda +1\) regulär, so läßt sich \(H\left(\dfrac d{dx}\right)f_\lambda\) in eine \textit{Mac Laurin}sche Reihe entwickeln: \[ H\left(\frac d{dx}\right)f_\lambda(x)=\sum_0^\infty \frac{H^{(n)}(0)}{n!} \frac{d^n}{dx^n}f_\lambda(x). \] Ist \(H(z)\) in der Umgebung eines Punktes \(ia\) oder im Unendlichen regulär, so existieren ähnliche Entwicklungen für \(H\left(\dfrac d{dx}\right)\), angewendet auf die Funktion \[ g_\lambda(x)=\frac 1{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)\,d\xi \int\limits_{-\infty}^{+\infty}F_\lambda(u-a)e^{iu(\xi-x)}\,du, \] bzw. \(f(x) - f_\lambda(x)\). Weiterhin werden singuläre Operatoren mit Polen (als Inverse von Operatoren mit Nullstellen) und solche mit Verzweigungsstellen definiert, wie z. B. \(\left(\dfrac d{dx}\right)^{\frac 12}\) und \(\left(\dfrac d{dx}\right)^{-\frac 12}\). Für den Fall, daß \(f(x) = 0\) für \(x < 0, = 1\) für \(x \geqq 0\) und \(\dfrac{h(u)}{\sqrt u}\) analytisch ist, wird \(H\left(\dfrac d{dx}\right)f(x)\) in eine asymptotische Reihe entwickelt. Ist \(H\left(\dfrac d{dx}\right)\) ein nichtsingulärer Operator, wo \(H(u)\) in der rechten Halbebene analytisch und im abgeschlossenen Bereich wenigstens noch stetig, ferner \(u^2H(u)\) in der rechten Halbebene beschränkt ist, so gilt \[ H\left(\frac d{dx}\right)f(x)=\frac 1{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)\,d\xi \int\limits_{-\infty}^{+\infty}H(-iu)e^{iu(\xi-x)}\,du. \] Ein solcher Operator, der nur von den Werten von \(f(\xi)\) für \(\xi\leqq x\) abhängt, heißt retrospektiv. Werden die Rollen der rechten und linken Halbebene vertauscht, so erhält man einen prospektiven Operator, der nur von den Werten von \(f\) für \(\xi\geqq x\) abhängt. Lösung der Telegraphengleichung vermittels Operatoren: Verschwindet \(f\) exponentiell für \(-\infty\) und wird \(f\) bei \(+ \infty\) algebraisch unendlich, so ist für \(a\), \(b\), \(x > 0\): \[ \left(\frac d{dt}+a\right)\left(\frac d{dt}+b\right) e^{-x\sqrt{\left(\frac d{dt}+a\right)\left(\frac d{dt}+b\right)}} f(t)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}e^{-x\sqrt{\left(\frac d{dt}+a\right)\left(\frac d{dt}+b\right)}}f(t). \] Setzt man also \(e^{-x\sqrt{\left(\frac d{dt}+a\right) \left(\frac d{dt}+b\right)}}f(t)=u(x,t)\), so erfült \(u\) die Gleichung \[ \frac{\partial^2u}{\partial t^2}+(a+b)\frac{\partial u}{\partial t}+abu=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] mit der Anfangsbedingung \(u(0,t)= f(t)\).