Eine hinreichende Bedingung für die Unität der Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung. (Q5908214)

Beweis des Satzes: Ist \(f(x, y)\) im Bereich \[ \mathfrak B: x_0\le x\le x_0+a,\quad |y-y_0|\le b \] stetig, und gilt für irgend zwei Punkte \((x, y_1)\) und \((x, y_2)\) aus \(\mathfrak B\), für welche \(y_1 < y_2\), \[ \frac {x-x_0}{y-y_0}[ f(x, y_2)-f(x, y_1)] < 1, \tag{*} \] so hat die Differentialgleichung \(y'=f(x, y)\) in \(\mathfrak B\) nur ein einziges Integral \(y(x)\) mit dem Anfangswert \(y(x_0)= y_0\). Hierin ist der bekannte Lipschitzsche Eindeutigkeitssatz enthalten. Es genügt, die Ungleichung (*) für solche Punktepaare zu fordern, bei denen der Punkt \((x, y_1)\) auf einer Integralkurve durch \((x_0, y_0)\) liegt. Zum Schluß in Anlehnung an \textit{M. Lavrentieff}s Beispiel [Math. Z. 23, 197--209 (1925; JFM 51.0332.04)] Konstruktion einer Differentialgleichung, die durch jeden Punkt des Quadrates \(0\le x\le 1\), \(0<y\le 1\) mindestens zwei Integralkurven, durch alle Punkte des unteren Randes \(0\le x\le 1\), \(y=0\) aber nur eine Integralkurve schickt.