Über das Unendliche. (Q5908333)

Dieser am 4. Juni 1925 in Münster gehaltene Vortrag zerfällt in zwei Teile. Der erste ordnet, ausgehend von einer historischen Betrachtung. \textit{Huberts} metamathematische Methode in den Rahmen der in der neueren Mathematik vielverwendeten ``Methode der idealen Elemente'' ein. Die Diskussionen über die Bedeutung des Unendlichen in der Mathematik, besonders in der Analysis, haben trotz der Methoden von \textit{Weierstraß} noch keinen Abschluß gefunden, sind vielmehr in den Brennpunkt des modernen Grundlagenstreits getreten. Die Hoffnung, in etwa aktual-unendlichen Strukturen der Naturwelt einen Inhalt zu finden, ist gerade durch die letzten Entwicklungen in der Naturwissenschaft vereitelt worden. Um neben den finiten Aussagen, die durch inhaltliches Denken legitimiert sind und niemals bestritten wurden, auch die für Mathematik und Logik gleich unentbehrlichen transfiniten Aussagen zu rechtfertigen, muß man entsprechend vorgehen, wie z. B. die einfache Gestalt der Sätze über Wurzelexistenz der Gleichungen sich durch Adjunktion der komplexen Zahlen zu den reellen, die Teilbarkeitssätze der natürlichen Zahlen sich für die algebraischen Zahlkörper durch Hinzunahme der idealen Teiler aufrecht erhalten ließen: man hat den finiten Aussagen die umstrittenen transfiniten als ideale Aussagen an die Seite zu stellen und die Legitimität des so entstehenden Systems zu erweisen, nicht durch eine (unmögliche) inhaltlicheinsichtige Begründung, sondern durch den Nachweis der Widerspruchsfreiheit des Gesamtsystems. Damit erhält man die volle und unbezweifelbare Berechtigung, auch mit den transfiniten Aussagen nach den (neuerdings hierfür bestrittenen und doch ganz unentbehrlichen) Gesetzen der Aristotelischen Logik zu operieren, z. B. Aussagen beliebig zu negieren und das tertium non datur zu verwenden. Auf diesem Wege muß selbst für den kühnsten Vorstoß in die Welt des Unendlichen, für \textit{Cantors} Theorie der transfiniten Zahlen, die ``bewundernswerteste Blüte mathematischen Geistes'', dieselbe Sicherheit sich herstellen lassen wie für die gewöhnliche finite Zahlenlehre. Mit den gewünschten idealen Aussagen, nämlich den über finite Behauptungen hinausgehenden Formeln, lassen sich die inhaltlichen logischen Operationen zunächst nicht ausführen; an deren Stelle müssen also Formalisierungen der logischen Operationen und damit der mathematischen Beweise treten, wie solche glücklicherweise in dem (zu anderem Zweck geschaffenen) Logikkalkül schon weitgehend vorliegen. Verf. deutet dann die Axiomgruppen seiner Beweistheorie an und formuliert die zu beweisende Aussage der Widerspruchsfreiheit, mit deren Sicherung gleichzeitig die arithmetischen Axiome sich als widerspruchsfrei herausstellen. Der zweite Teil beginnt mit der Behauptung, der Nachweis, daß die Annahme der Lösbarkeit eines mathematischen Problems widerspruchsfrei ist, falle durchaus in den Bereich der bezeichneten Theorie. In engstem Zusammenhang damit soll auch der Beweis des Kontinuumssatzes (\(2^{\varkappa_0} = \varkappa_1\)) gelingen. Einer (inhaltlichen) Begründung dieser Behauptung (oder vielmehr der Aussage, daß der Kontinuumssatz mit den gewöhnlichen Axiomen verträglich sei) ist der Rest des Vortrags gewidmet, für den der Verf. sich nachdrücklich auf die Mitarbeit von \textit{Bernays} bezieht. Die wesentlichen Beweishilfsmittel sind die Herleitung weiterer ``Variabelntypen'' aus den ``Grundvariabeln'' mittels Anwendung logischer Verknüpfungen auf letztere, dann die (durch Einsetzung und Rekursion ermöglichte) Bildung ganzzahliger Funktionen, die den Zahlen der zweiten Zahlklasse zugeordnet werden sollen, vor allem aber zwei noch unbewiesene Lemmata; das erste von ihnen vereinfacht den Kreis der Funktionen, auf die man für einen evtl. Widerspruch gegen den Kontinuumsatz Rücksicht zu nehmen hat, während das zweite die Entbehrlichkeit transfiniter Rekursionen bei der Bildung der für die Zuordnung erforderlichen Funktionen und Variabelntypen behauptet. So ist die vorliegende Behandlung des Kontinuumssatzes naturgemäß vielmehr ein (überdies erst noch in die finite Einstellung zu übertragendes) Programm als ein Beweis. (III.)