Des équations aux dérivées partielles du second ordre intégrables par la méthode de Darboux. (Q5908395)

Sei \[ r + f (x, y, z, p, q, s, t) = 0, \tag{\text{*}} \] wo \(p\), \(q\), \(r\), \(s\), \(t\) in bekannter Weise die ersten und zweiten Ableitungen von \(z\) nach \(x\) und \(y\) bedeuten. Die Charakteristiken von (*) werden bekanntlich durch die Wurzeln \(m_1\), \(m_2\) einer gewissen quadratischen Gleichung bestimmt. Das zu der Wurzel \(m_2\) gehörige Charakteristikensystem werde als das System II bezeichnet. Das Hauptziel der Arbeit besteht alsdann im Beweis des folgenden Satzes (der einige genau angegebene Ausnahmefälle zuläßt): Wenn das System II eine Invariante besitzt, deren Ordnung größer als 3 ist, aber keine von niedrigerer Ordnung, so besitzt entweder das System II eine Involution der Ordnung 3, oder es ist \[ \frac{\partial m_2}{\partial t}- m_2\frac{\partial m_2}{\partial s}=0. \] Zum Schluß werden einige Folgerungen dieses Hauptsatzes angegeben: Wenn eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für das System II eine Invariante besitzt, aber keine Involution der Ordnung \({}\leqq3\), so besitzt das System II eine charakteristische Mannigfaltigkeit der Ordnung 1. Gilt die eben für das System II ausgesprochene Voraussetzung auch für das andere Charakteristikensystem, so ist die Gleichung vom Monge-Ampèreschen Typus.