On the formal modular invariants of binary forms. (Q5908436)

In einer bekannten Arbeit (F. d. M. 34, 223 (JFM 34.0223.*)) definierte \textit{A. Hurwitz} formal-modulare Invarianten, gab aber keinen Beweis ihrer Existenz (abgesehen von den algebraischen). Seitdem ist diese Theorie von \textit{E. L. Dickson, O. E. Glenn, O. C. Hazlett} u. a. weiter entwickelt worden, jedoch unter Beschränkung auf quadratische Urformen \(f_2\). Hier gibt Verf. zum Problem der Bestimmung eines Fundamentalsystems einer \(f_3\) mod. \(p\) neue Beiträge. Eine binäre Form \(f_q = f\) der Ordnung \(q\): \(f = (a_0, \dots, a_q) (x, y)^q\) gehe durch die lineare Substitution \[ x = lX + mY, \quad y = l^\prime X + m^\prime Y \tag{"(A)"} \] über in \(F = (A_0, \dots A_q) (X, Y)^q\), wo die ganzzahligen Koeffizienten \(l\), \(m\), \(l^\prime\), \(m^\prime \mod p\) reduziert seien. Dann ist \(I\) eine formal-modulare Invariante von \(f\), wenn die Kongruenz erfüllt wird \[ I(A_0 \dots A_q) \equiv (lm^\prime - l^\prime m)^w\, I(a_0\cdots a_q) \mod p. \tag{"(I)"} \] Jede algebraische Invariante ist auch eine formal-modulare, aber nicht immer umgekehrt. Die Substitution \((\)A) ist erzeugbar durch die drei einfacheren: \[ \begin{aligned} x & = X + Y, \quad y =Y; \qquad \text{ (2) } \quad x =Y, y = -X; \tag{1} \\ x & = X, y = \lambda Y \quad (\lambda \text{ ganz, nicht teilbar durch } p). \tag{3} \end{aligned} \] Die Invarianz einer \(I\) gegenüber (3) besagt, daß \(I\) modular-isobar mod \(p-1\) ist, d. h. daß die Gewichte \(\sigma_1, \dots, \sigma_n\) der Glieder einander kongruent mod \(p - 1\) sind. Ein gegenüber (1) invarianter Ausdruck heißt eine formal-modulare Seminvariante. Diese Hilfssätze, und ähnliche, finden ihre Anwendung auf die kubische Form \(f = f_3 = ax^3 + \cdots + dy^3\). Vermöge (1) resp. (2) gehe \(f\) über in \(F (A, \dots, D)\) resp. \(f (a', \dots, d')\). Es ergibt sich, daß das Produkt \[ \prod_{t=0}^{p-1} (at^3 + 3bt^2 + 3ct + d) \] eine Invariante von \(f\) ist, ein Satz, der sich auf eine beliebige \(f_q\) ausdehnen läßt. Analog wird gezeigt, daß die Reihe der Größen: \[ K_\lambda \equiv a_0^{\lambda(p-1)} + \sum_{t=0}^{p-1} (a_0t^q + \cdots + a_q)^{\lambda(p-1)} \quad (\lambda = 1, 2, \dots) \] Invarianten einer \(f_q(a_0, \dots, a_q)\) sind. Sodann werden drei weitere Linearformen in den \(a\) herangezogen, von den Typen \[ \begin{gathered} at + b,\quad a(t^2 - k) + 2bt + c,\quad a(t^3 - 3kt - j) + 3b(t^2 - k) + 3ct + d,\\ (t,\, j,\, k = 0, 1, \dots, p - 1), \end{gathered} \] die schon \textit{Dickson} für Urformen \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) betrachtet hat. Alle einander aequivalenten Formen bilden ein ``Geschlecht''; dasselbe gilt von den linearen Polynomen in den \(a\). So z. B. bilden alle irreduzibeln \(f_2 \mod p\) ein Geschlecht, dagegen alle irreduzibeln \(f_3 \mod p\) \((p >3)\) zwei Geschlechter. Damit gelangt man zu neuen Invarianten. \(S\) ist das Produkt der \(\dfrac{p^2 - p}{6}\) linearen Polynome, die einem Geschlechte irreduzibler \(f_3\) entsprechen, eine Invariante mod \(p\) der \(f_3\); es gibt zwei solche Invarianten. Analoge Sätze gelten für \(f_4\), \(f_5\), \(f_6\), \(f_7\). Aber auch die Summen der \(\lambda (p - l)\)-ten \((\lambda = 1, 2 \dots)\) Potenzen jener Linearformen sind Invarianten. Ein weiteres Hilfsmittel zur Erzeugung neuer Invarianten liefert der Aronholdsche Prozeß: \[ A = a_0^p \frac{\partial}{\partial a_0} + a_1^p \frac{\partial}{\partial a_1} + \cdots + a_q^p \frac{\partial}{\partial a_q}. \] Ist \(I\) eine Invariante der \(f_q(a_0, \dots, a_q)\), so auch \(A^m I\). Dies wird angewendet auf die Diskriminante \(D\) einer \(f_3\). Sodann werden die obigen allgemeinen Sätze erläutert an den Beispielen einer \(f_3 \mod 5\) und mod 7; die Invarianten werden nach den Leitgliedern klassifiziert. Dabei stellen sich zwischen beiden Fällen gewisse Unterschiede heraus. Am Schlusse wird noch für die Existenz einer von \textit{Hurwitz} angegebenen Invariante der \(f_2 \mod p\) ein einfacherer Beweis gegeben.