Certain products involving the divisors of numbers. (Q5908460)

\(f(x)\) sei für alle natürlichen Zahlen erklärt, \(f'(x)\) sei die zugehörige summatorische Funktion. Dann gilt (unter Konvergenzvoraussetzungen) \[ \sum f'(n) x^n =\sum \frac{f(n) x^n}{1-x^n}. \] Daraus erfolgt \[ \prod(1 - x^n)^{f(n)/n} = \exp\left(- \sum f'(n) \frac{x^n}{n}\right). \] Aus dieser und ähnlichen Formeln gewinnt Verf. durch Spezialisieren eine große Anzahl von Relationen, z. B. \[ \begin{aligned} &\prod(1 - x^n)^{\mu(n)/n}=e^{-x},\\ &\prod\left(1- \frac 1{2^n}\right)^{\varPhi(n)/n}=\frac 1e \;\text{usw.} \end{aligned} \] (\(\mu=\) Möbiussche, \(\varPhi\) = Eulersche Funktion).