The lattice points of a circle. (Q5908461)

Verf. gibt im Anschluß an eine Arbeit von sich und \textit{E. Landau} [Proc. R. Soc. Lond., Ser. A 105, 244--258 (1924; JFM 50.0114.01)] und an eine Arbeit von \textit{J. E. Littlewood}, \textit{A. Walfisz} und \textit{E. Landau} [Proc. R. Soc. Lond. A 106, 478--488 (1925; JFM 51.0150.01)] (siehe vorstehendes Referat) eine neue Methode, um zu dem Zusammenhang zwischen der Anzahl der Gitterpunkte im Kreise und einer unendlichen Reihe, deren Glieder mit Werten der Besselschen Funktion erster Ordnung behaftet sind, zu gelangen, und erhält auf neuem Wege eine Abschätzung für die Restsumme dieser Entwicklung von einer gewissen Stelle an. So ergibt sich u. a: mit reellem \(\xi > 1\) und \[ \frac 12 \leqq \xi_1\leqq \xi \] ist für beliebig positives \(\varepsilon\) \[ P(\xi) = \xi^{\frac 12}\cdot \sum_{\nu=1}^{[\xi_1]} \frac {r(\nu)}{\nu^{\frac 12}}\cdot J_1(2\pi\xi^{\frac 12})+O(\xi_1^{-\frac 12}\cdot \xi^{\frac 12+\varepsilon}), \] worin \(J_1(x)\) die Besselsche Funktion erster Ordnung bezeichnet und \[ r(n)=\sum_{x_1^2+x_2^2=n} 1 \] (in ganzen \(x_1\) und \(x_2\), wobei Lösungen \(x_1\) und \(x_2\), die sich nur durch die Vorzeichen bzw. die Reihenfolge von \(x_1\) und \(x_2\) unterscheiden, als verschieden gezählt werden) und \[ P(\xi)=\sum_{\nu=0}^{[\xi]} r(\nu) - \pi\xi \] gesetzt ist. Verf. zeigt ferner, daß seine Methode auch auf Ellipsoidprobleme angewendet werden kann.