Zur Theorie der diophantischen Approximationen. (Q5908466)

Verf. gibt einen Überblick über seine Untersuchungen zur Theorie der diophantischen Approximationen (F. d. M. 50, 124 (JFM 50.0124.*)-125; 51, vorstehendes Referat). Es handelt sich zunächst um die Verteilung der \(R(m\alpha)\), \(1\leqq m < x\), wo \(\alpha > 0\) eine gegebene Irrationalzahl und \(R(a)= a- [a]\) allgemein den Bruchbestandteil der reellen Zahl \(a\) bezeichnet. Hier bewies \textit{Ostrowski} folgendes: Sei \(I\) ein Intervall der Strecke \(\{0,1\}\) von der Länge \(l\), \(A(x;I;\alpha)\) die Anzahl der \(R (m\alpha\)), \(1\leqq m<x\), in \(I\). Dann gilt gleichmäßig für alle solchen Intervalle \(I\) \[ |A(x;I;\alpha)-lx|\leqq Kx ^{1-\frac 1\mu}M(x). \] Dabei bezeichnet \(K\) eine absolute Konstante, \(\mu\) eine gewisse reelle Zahl, welche die Güte der Approximierbarkeit von \(\alpha\) durch rationale Zahlen mißt und \(M(x)\) eine gewisse positive Funktion, die samt ihrer Reziproken von der Größenordnung \(O(x^\varepsilon)\), (\(\varepsilon > 0\)) ist. In der ersten seiner beiden Arbeiten zeigt Verf. zunächst, daß für eine gewisse Folge von \(x\)-Werten und Intervallen \(I\) \[ |A(x;I;\alpha)-lx|\geqq Kx ^{1-\frac 1\mu}M(x). \] Des weiteren werden dann Abschätzungen des Fehlers \(|A(x;I;\alpha)- lx|\) für solche Intervalle angegeben, deren \(l < \dfrac{M(x)}{x^{\frac 1\mu}}\). Mit ihrer Hilfe erhält Verf. auf elementarem Wege die bereits von \textit{Hardy-Littlewood} bewiesenen Abschätzungen der \[ \varphi_1^{(q)}(x) = \sum_{m\leqq x} P_q (R(m\alpha)), \] wo \(P_q\) das \(q\)-te Bernoullische Polynom bezeichnet. Insbesondere ist \[ \varphi_1^{(1)}(x) = \sum_{m\leqq x} (R(m\alpha)-\tfrac 12). \] Die Methoden des Verf. gestatten aber über das schon Bewiesene hinaus den Nachweis, daß die hier gewonnenne Abschätzungen die besten ihrer Art sind. Es wird ferner die Verteilung der \(R(m^2\alpha)\) untersucht, und der Verf. gelangt bei der Betrachtung der \[ \sigma(x; \alpha) = \sum_{m\leqq x}e^{2\pi i m^2\alpha} \] zu ähnlichen Abschätzungen wie früher, die sich auch hier im allgemeinen als die besten ihrer Art erweisen. Eine genauere Diskussion liefert weitere Aufschlüsse über den Zusammenhang zwischen den Größenordnungen der verschiedenen einer Irrationalität \(\alpha\) zugeordneten summatorischen Funktionen und der Verteilung der \(R(m\alpha)\) und der \(R(m^2\alpha)\).