Sur la meilleure approximation des fonctions analytiques et leurs points singuliers. (Q5908512)

Verf. teilt ohne Beweis die folgenden Sätze mit, welche auf einem \textit{S. Bernstein}schen Satze beruhen (S. Bernstein, Leçons sur les propriétés extrémales et la meilleure approximation des fonctions analytiques de la variable réelle. Paris, 1926; F. d. M. \textbf{52}). Es sei \(\varphi(z)\) eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius \(R > 1\). Wir bezeichnen mit \(E_n(\alpha)\) die ''beste Approximation'' der Funktion \(\varphi(e^{i\alpha}x^2)\) im Intervall \(-1\leqq x\leqq 1\), und setzen \[ F(\alpha)=\mathop{\varlimsup}_{n \to \infty} \root n\of{E_n(\alpha)}. \] Dann ist I. \(F(\alpha)\) stetig und \[ \frac{1}{\sqrt{R}+\sqrt{R+1}}\leqq F(\alpha)\leqq \frac{1}{\sqrt{R}+\sqrt{R-1}}. \] Wenn Min \(F(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{R}+\sqrt{R+1}}\) ist, so hat \(\varphi(z)\) auf dem Konvergenzkreise einen einzigen singulären Punkt. II. Wenn \(\varphi(z)\) auf dem Kreise \(|z|=R\) einen einzigen und im Kreise \(|z|\leqq R+1\) keine weiteren singulären Punkte hat, so gilt \[ \text{Min } F(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{R+1}+\sqrt{R}} \] III. Es sei \(\varphi(-z)=\varphi(z)\). Die Funktion \(\varphi(z)\) ist über den Kreis \(|z|=R\) hinaus dann und nur dann nicht fortsetzbar, wenn identisch \(F(\alpha)=\) konst. gilt. (Die Formeln sind gemäß der Berichtigung richtiggestellt.)