Axiomatische Begründung der allgemeinen Idealtheorie. (Q5908638)

Die Ideale werden hier nicht wie üblich mittels des Ringbegriffs eingeführt, sondern durch axiomatisch festgelegte Teilbarkeits- und Multiplikationseigenschaften, die mittels einer Grundrelation > und einer Grundoperation formuliert werden; der Quotient \({\mathfrak a}:{\mathfrak b}\) bedeutet den größten gemeinsamen Teiler der Ideale \(\mathfrak c\), für die \(\mathfrak b \cdot \mathfrak c \geqq \mathfrak a\), worauf sich der Begriff des Primideals leicht einführen läßt. Wird schließlich \(\mathfrak i\) ein ``isoliertes Komponentenideal'' von \(\mathfrak a\) genannt, wenn \(\mathfrak b\) so existiert, daß\ \({\mathfrak{a:b}}^r={\mathfrak {a:b}}^{r+1}=\cdots=\mathfrak i\), so lassen sich sehr einfach, unter Vermeidung der Zerlegung eines Ideals in Primärkomponenten, die folgenden Sätze der allgemeinen Idealtheorie (vgl. E. Noether, Math. Ann. 83, 24, 1921; F. d. M. 48, 121 (JFM 48.0121.*), 1921-22 sowie Krull, Math. Ann. 90, 55, 1923; F. d. M. 49, 82 (JFM 49.0082.*)) mit ausgiebiger Verwendung des Reihenformalismus für Ideale ableiten: Zu jedem Ideal gibt es endlich viele zugehörige Primideale und isolierte Komponentenideale. Jedes isolierte Komponentenideal steht in umkehrbar eindeutiger Beziehung zu einer gewissen Schar zugehöriger Primideale. Zum Schluß\ wird ein neuer Beweis für die eindeutige Zerlegbarkeit jedes Ideals in teilerfremd-irreduzible Faktoren gegeben.