Über Gruppen, deren sämtliche Teiler spezielle Gruppen sind. (Q5908639)

``Die nicht sehr glücklich gewählte Bezeichnung `spezielle Gruppen' haben bekanntlich die Gruppen von Primzahlpotenzordnung und ihre direkten Produkte erhalten.'' Der Verf. untersucht diejenigen nicht speziellen Gruppen, deren Teiler sämtlich zur Klasse der ``speziellen Gruppen'' gehören. Es ergibt sich, daß\ die Ordnung solcher Gruppen nicht durch mehr als zwei verschiedene Primzahlen teilbar sein kann, also die Form \(p^\alpha \cdot q^\beta\) hat. Die Sylowschen Untergruppen der Ordnung \(p^\alpha\) sind dabei zyklisch. Es gibt nur eine Untergruppe der Ordnung \(q^\beta\). Enthält dieselbe einen Normalteiler der ganzen Gruppe von der Ordnung \(q^{\beta- b}\) und keinen größeren, so ist \(b\) der kleinste Exponent, für welchen \(q^b \equiv 1\) (mod. \(p\)) gilt. Zugleich werden als Spezialfall die Eigenschaften der Gruppen mit nur kommutativen Untergruppen abgeleitet, welche auf anderem Wege von G. A. Miller und H. G. Moreno erhalten worden sind. (Trans. of Amer. Math. Soc. 4, 398, 1903; F. d. M. 34, 173 (JFM 34.0173.*).)