The lattice points of a circle. (Q5908646)

Die Arbeit befaßt sich nicht mit der Abschätzung des ``Gitterrests'' \[ P(x)=\sum_{a^2+b^2 \le x} 1-\pi x\] im Kreis mit Radius \(\sqrt x\), sondern mit der Identität, die \[ \overline{P}(x)=\frac 12(P(x-0)+P(x+0))\] nach Besselschen Funktionen entwickelt: \[ \overline{P}(x)=\sqrt x \sum_{n=1}^\infty \frac{r(n)}{\sqrt n} J_1(2\pi \sqrt{nx}), \] wo \(r(x)=\sum_{a^2+b^2=x}\) 1 ist. Für diese gab es bislang zwei Beweise: einen von Hardy, der die allgemeine Theorie einer besonderen Klasse Dirichletscher Reihen und einen schwierigen Satz von M. Riesz benutzte; und einen von Landau, der alle unangenehmen Unterscheidungen zwischen geometrischen Figuren der (inzwischen verstorbenen) Pfeifferschen Methode aufwies. Hier wird nun die Identität und noch ein gut Stück mehr viel einfacher, sowohl ``komplex'' als ``reell'', hergeleitet; die vorliegenden Beweise erscheinen endlich ``naturgemäß''. Der erste macht ausgiebig und in höchst eleganter Weise Gebrauch von allgemeinen Eigenschaften Besselscher und Hankelscher Funktionen, insbesondere einem Weberschen diskontinuierlichen Faktor; der zweite folgert die Identität aus der viel flacher liegenden ``integrierten'' Identität, die \(\int_0^x \overline{P}(y)\,dy\) als absolut konvergente Reihe darstellt; und dabei erscheint besonders bemerkenswert die unterwegs bewiesene neue Identität \[ \begin{multlined} \overline{P}(x)=\sqrt x \sum_{1 \le n \le y} \frac{r(n)}{\sqrt n} J_1(2\pi \sqrt{nx}) +J_0(2\pi \sqrt{xy}) - \sqrt{\frac xy} P(y) J_1(2\pi \sqrt{xy}) \\ -\frac{\pi x}{y} \int_0^y P(z)dz J_2(2\pi \sqrt{xy}) +x \sum_1^\infty \frac{r(n)}{n} \int_{2\pi \sqrt{xy}}^\infty J_3(t)J_2 \left( t \sqrt{\frac nx} \right) dt, \end{multlined} \] die, besser noch als schon der erste Beweis, die Güte, Gleichmäßigkeit bzw. Ungleichmäßigkeit der Konvergenz der Reihe und ihr ``Gibbssches Phänomen'' an den Sprungstellen von \(\overline{P}(x)\) zeigt.