Einige Überdeckungssätze der Punktmengenlehre. (Q5908649)

Ist jedem Punkte der Menge \(M\) eines separablen metrischen Raumes eine sich auf den betreffenden Punkt zusammenziehende Folge von Umgebungen zugeordnet, so möge die Gesamtheit der vorliegenden Umgebungen ein Folgensystem von \(M\) genannt werden. Aus jedem Folgensystem kann eine abzählbare Menge von die Menge \(M\) überdeckenden Umgebungen ausgesondert werden. Eine evtl. endliche Folge von die Menge \(M\) überdeckenden Umgebungen, deren Durchmesser, sofern die Folge unendlich ist, gegen Null konvergiert, wird eine Nullfolge genannt. Es wird nun nach denjenigen Mengen \(M\), kurz \(E\)-Mengen gefragt, bei welchen jedes Folgensystem eine die Menge \(M\) überdeckende Nullfolge enthält. Die kompakten abgeschlossenen Mengen sind gewiß \(E\)-Mengen. Auch die Vereinigung \(M\) abzählbar vieler \(E\)-Mengen ist eine \(E\)-Menge. Verf. vermutet, daß\ jede \(E\)-Menge als die Vereinigung abzählbar vieler kompakter abgeschlossener Mengen dargestellt werden kann. Ist \(M\) keine \(E\)-Menge, so gibt es einen die Menge \(M\) enthaltenden Durchschnitt von abzählbar vielen offenen Mengen, der keine \(E\)-Menge ist. Es wird nun durch Beispiele gezeigt, daß\ es Mengen \(M\) gibt, die keine \(E\)-Menge sind. Zur Beantwortung der Frage, wann ein vorgelegtes Folgensystem einer \(E\)-Menge \(M\) eine überdeckende Nullfolge enthält, wird im Falle, wo \(M\) kompakt ist, eine weittragende hinreichende Bedingung gewonnen und sogleich auf den Fall übertragen, wo \(M\) nur halbkompakt, d. h. die Vereinigung einer Folge von kompakten Mengen ist. Eine Menge \(M\) eines metrischen Raumes, in dessen jedem Punkte eine sich auf den Punkt zusammenziehende Folge von Umgebungen mit zu \(M\) fremden Begrenzungen vorhanden ist, nennt hier der Verf. total zusammenhangslos. Im Sinne der Dimensionstheorie sind diese Mengen nulldimensional. Liegt die halbkompakte Menge \(M\) in einem Raume, in welchem jede beschränkte Menge kompakt ist, so bleibt \(M\) nach Hinzufügung eines beliebigen einzelnen Punktes oder einer beliebigen total zusammenhangslosen abgeschlossenen Menge dann und nur dann total zusammenhangslos, wenn es zu jedem \(\varepsilon>0\) eine die Menge \(M\) überdeckende Nullfolge von offenen Mengen vom Durchmesser \(<\varepsilon\) vorhanden ist, deren Begrenzungen mit \(M\) keinen Punkt gemein haben. Für Mengen, bei welchen diese Bedingung nicht erfüllt ist, werden einige Sätze auch ohne die Voraussetzung der Halbkompaktheit bewiesen.