A contribution to the theory of Fourier transforms. (Q5908662)

Beweis des folgenden Theorems: Wenn \(| f(x)| ^p(1<p \leqq 2)\) über \((0,\infty)\) nach Lebesgue integrierbar ist, so existiert fast überall die ``Fouriertransformierte'': \[ F(x)=\sqrt{\frac 2\pi} \frac{d}{dx} \int_0^\infty \frac{\sin xt}{t} f(t)dt. \] Es ist \(| F(x)| ^{\frac{p}{p-1}}\) über \((0,\infty)\) integrierbar und es gilt fast überall die Umkehrformel: \[ f(x)=\sqrt{\frac 2\pi} \frac{d}{dx} \int_0^\infty \frac{\sin xt}{t} F(t)dt. \] Es wird weiter gezeigt, daß\ dieses Resultat für \(p>2\) nicht mehr gilt, ferner, daß\ unter den Voraussetzungen des obigen Satzes bei beliebig kleinem \(\varepsilon\) die Integrale: \[ \int_0^\infty | F(x)| ^{\frac{p}{p+1} \pm \varepsilon} dx \] nicht zu existieren brauchen. Weitere Ergebnisse: Sind \(| f(x)| ^r,| g(x)^p| \) in \((0,\infty)\) integrierbar und \(F(x)\), \(G(x)\) ihre Fouriertransformierten, so gilt: \[ \int_0^\infty f(x)G(x)dx=\int_0^\infty F(x)g(x)dx \] und die Ungleichung: \[ \int_0^\infty F(x)^{\frac{p}{p-1}}dx \leqq \frac \pi 2 \left[ \int_0^\infty| f(x)| ^p dx \right]^{\frac{1}{p-1}}. \]