Ein Satz über Dirichletsche Reihen. (Q5908670)

H. Bohr hat 1913 bewiesen (s. F. d. M. 44, 308 (JFM 44.0308.*), 1913): Es sei die Dirichletsche Reihe \(f(s)=f(\sigma+it)=\sum_{n=0}^\infty a_ne^{- \lambda_ns}\) mit \(0 \leqq \lambda_0 < \lambda_1 < \cdots \lambda_n \to \infty\) in einer gewissen Halbebene absolut konvergent und in der Viertelebene \(\sigma>\gamma\), \(t>\tau\) sei \(f(s)\) regulär und \(| f(s)| \leqq M\). Dann ist \(f(s)\) sogar in der ganzen Halbebene \(\sigma>\gamma\) regulär und es ist auch dort \(| f(s)| \leqq M\). Die neueren Untersuchungen Bohrs über die Quasiperiodizät der Dirichletschen Reihen machen die Aussage des Satzes viel einleuchtender und legen eine Verallgemeinerung nahe. So wird hier bewiesen: Es genügt schon, daß\ die Reihe \(f(s)\) in einer gewissen Halbebene im Rieszschen Sinne \((\lambda, \kappa)\)-summierbar sei, daß\ \(f(s)\) in der Viertelebene \(\sigma>\gamma\), \(t>\tau\) regulär sei und dort zwei Werte \(a\) und \(b\) \((\neq a)\) ausläßt. Dann ist \(f(s)\) in der ganzen Halbebene \(\sigma > \gamma\) regulär und läßt dort die Werte \(a\) und \(b\) aus.