Bemerkungen über das Prinzip der virtuellen Verrückungen in der Hydrodynamik inkompressibler Flüssigkeiten. (Q5908747)

Es sei \(T\) ein von einer inkompressiblen, nicht notwendig homogenen Flüssigkeitsmasse erfülltes dreidimensionales Gebiet, dessen Rand \(S=S'+S''\) stückweise regulär analytisch ist, wobei \(S'\) von starren Wänden gebildet wird und \(S''\) frei ist. Die Volumkräfte sollen auf \(T + S\), die Flächenkräfte auf \(S''\) stetig erklärte Ortsfunktionen sein. Von der Dichte \(\varrho\) soll nur stückweise Stetigkeit verlangt werden. In den üblichen Bezeichnungen hat man als Bedingung des Gleichgewichtes die Beziehung \[ (1)\quad \int_T \varrho (X \delta x+Y \delta y+Z \delta z)d \tau+\int_{S''} (X_\sigma \delta x + Y_\sigma \delta y + Z_\sigma \delta z) d \sigma = 0 \] mit der Nebenbedingung, daß\ die Volum- bzw. Flächendivergenz des Vektors \((\delta x,\delta y,\delta z)\) auf \(T\) bzw. auf \(S''\) verschwindet. um daraus die hydrostatischen Grundgleichungen \[ (2)\quad \varrho X=\frac{\partial p}{\partial x},\dots \;\text{auf}\;T;\qquad (3)\quad p \cos (n,x)=X_\sigma,\dots,\;\text{auf}\;S'' \] zu erhalten, kann man den Druck \(p\) als Lagrangeschen Multiplikator einführen und dann teilweise Integration vornehmen. Doch fehlt in der Regel hierfür eine Begründung. Auch ist teilweise Integration nur dann gestattet, wenn man z. B. weiß, daß\ die Integranden stetig differentiierbar sind. -- Nun läßt sich die Multiplikatorenmethode auch unter den obigen Annahmen begründen, und zwar folgendermaßen. Es sei \(Q\) ein z. B. zur Ebene \(z = 0\) paralleles, abgeschlossenes, achsenparalleles Quadrat in \(T\), welches keine Unstetigkeitsstelle von \(\varrho\) enthält und es seien \(\delta z\) und \(\delta y\) auf dem Rande von \(Q\) verschwindende, auf \(Q\) stetig differentiierbare Funktionen. Ist \[ \frac{\partial \delta x}{\partial x} +\frac{\partial \delta y}{\partial y}=0, \] so gibt es eine auf \(Q\) stetig differentiierbare, auf dem Rande von \(Q\) verschwindende Funktion \(\Theta=\Theta(x,y)\) mit \(\delta x=\frac{\partial \Theta}{\partial y}\), \(dy=-\frac{\partial \Theta}{\partial x}\). Man hat dann \[ (4)\quad \int_Q \left( \varrho X \frac{\partial \Theta}{\partial y} - \varrho Y \frac{\partial \Theta}{\partial x} \right) dxdy=0 \] da nach (1) \(\int_Q \varrho(X \delta x+Y \delta y)dxdy=0\) gilt. Offenbar gilt (4) bei jedem \(\Theta\) von der erwähnten Beschaffenheit. Man schließt daraus auf Grund eines im wesentlichen von A. Haar (J. f. Math. 149; F. d. M. 47, 476 (JFM 47.0476.*)) herrührenden Lemmas, für welches ein überaus einfacher und kurzer Beweis gegeben wird, auf die Richtigkeit von (2), woraus sich dann auch (3) und das Verschwinden der Divergenz ergibt (es bleibt dabei der Druck bis auf eine additive Konstante unbestimmt, wie es auch sein muß).