Stirlings Interpolationsrække. (Q5908776)

In diesen beiden Abhandlungen setzt Nörlund seine Untersuchungen über die Stirlingsche Interpolationsreihe \[ (1)\quad F(z)=F(0)+\sum_{n=0}^\infty (a_n+a_n' z)z(z^2- 1^2)(z^2-2^2)\dots (z^2-n^2) \] aus Danske Vidensk. Selsk. math.-fys. Meddelelser 4 (1921), Nr.3, 1-34 (F. d. M. 48, 384) und Ann. Éc. Norm. (3) 39 (1922) 343-403, (3) 40 (1923) 35-54 (F. d. M. 48, 382 (JFM 48.0382.*); 50, 642) weiter fort, und zwar meist bis zu fast abschließenden Ergebnissen. In der französischen Arbeit wird zunächst die Betrachtung wie schon früher im wesentlichen auf das Studium der einfacheren Reihe \[ (2)\quad H(z)=\frac{F(z)-F(-z)}{2z}=\sum_{n=0}^\infty a_n(z^2- 1^2)(z^22^2)\dots(z^2-n^2) \] zurückgeführt und mittels Abelscher Transformation der Beweis wiederholt, daß\ diese Reihe in jedem abgeschlossenen Bereiche der \(z\)-Ebene gleichmäßig konvergiert, wenn sie für ein nicht ganzzahliges \(z=z_0\) konvergent ist; die Reihe stellt also im Falle ihrer Konvergenz immer eine ganze Funktion dar. Dann wird durch Abschätzung der Reihenglieder und ihres Einflusses eine Majorantenfunktion für \(H(z)\), d.h. eine obere Schranke für den Absolutbetrag von \(H(z)\) bei großem \(z\) gewonnen, mit anderen Worten eine notwendige Bedingung dafür, daß\ eine ganze Funktion \(H(z)\) in eine Stirlingsche Reihe der besonderen Art (2) entwickelbar ist. Da die Reihe (2) nur bedingt zu konvergieren braucht, verwendet Nörlund die bereits benutzte, nach Abel transformierte, absolut konvergente Reihe. Indem man das Verhältnis aufeinanderfolgender Reihenglieder als Funktion von \(n\) studiert, wobei eine Trennung der Winkelräume \(\frac \pi 4 \leqq v \leqq \frac {3\pi}{4}\) und \(-\frac \pi 4< v < \frac \pi 4\) für den Arkus \(v\) von \(z=re^{iv}\) erforderlich ist, ergibt sich \[ | H(re^{iv})|<Cc^{r \psi(v)}r^\beta. \] Dabei bedeutet \(\varphi(v)\) eine aus elementaren Funktionen aufgebaute, mit der Periode \(\pi\) periodische und zwischen den Schranken \(2\log (1+\sqrt{2})\) und \(\pi\) enthaltene Funktion von \(v\). Für \(\beta\) läßt sich verhältnismäßig einfach zeigen, daß\ es genügt, den Wert \(\beta=1\) zu wählen. Verbessert wird \(\beta\) durch äußerst sorgfältiges und eingehendes, aber auch mühsames Abschätzen. Man darf bei festem \(\varepsilon>0\) \[ \begin{matrix} & \beta=-1, & \text{aber nicht} & \beta<-1 & \text{für} & & \frac \pi 4+\varepsilon \leqq v \leqq \frac{3 \pi}{4}-\varepsilon, \\ & \beta=\frac 1 2, & \text{aber nicht} & \beta <-\frac 1 2 & \text{für} &-& \frac \pi 4+\varepsilon \leqq v \leqq \frac \pi 4-\varepsilon, \\ & \beta=-\frac 1 3 & & & \text{für} & & v=\pm \frac \pi 4 \text{ und } v=\pm \frac{3 \pi}{4} \end{matrix} \] nehmen; denn es gilt \[ \begin{matrix} | H(re^{iv})|&<\frac{e^{r \psi(v)}\varepsilon(r)}{r^{\frac 1 3}(1r^{\frac 2 3}\cos 2v)}\;\text{ für}\;&\frac \pi 4 \leqq v \leqq \frac{3 \pi}{4},\\ | H(re^{iv})|&<\frac{e^{r \psi(v)}\varepsilon(r)}{r^{\frac 1 3}(1+r^{\frac 2 3}\cos 2v)^{\frac 1 4}}\;\text{ für} &- \frac \pi 4 \leqq v \leqq \frac \pi 4\end{matrix} \] mit \(\varepsilon(r)\to 0\) gleichmäßig für \(r \to \infty\). Diese notwendigen Bedingungen kommen sehr nahe an die hinreichenden Bedingungen heran, die Nörlund in den beiden früheren Arbeiten durch Untersuchung des Restgliedes der Stirlingschen Reihe mittels komplexer Integration aufgestellt hatte. Nach ihnen ist hinreichend für die Entwickelbarkeit einer geraden ganzen Funktion in eine Stirlingsche Reihe der besonderen Gestalt (2) \(\beta<-1\) durchweg, bzw. \(\beta <-1\) für \(\frac \pi 4 \leqq v \leqq \frac {3 \pi}{4}, \beta <-\frac 1 2\) für \(-\frac \pi 4<v \frac \pi 4\). Es bereitet keine Schwierigkeiten, die Ergebnisse statt für Stirlingsche Reihen der besonderen Gestalt (2) für solche der allgemeinen Gestalt (1) auszusprechen. Die dänische Abhandlung sucht statt über die umständlichen und kaum wesentlich zu vereinfachenden Abschätzungen der Reihenglieder durch eine Integraldarstellung der Funktion \(F(z)\) in (1) zu den Majorantenausdsücken für \(F(z)\) zu gelangen. Es werden zunächst einige Hülfssätze von Hadamard über das Verhalten einer Potenzreihe mit bekanntem asymptotischem Verhalten der Koeffizienten bei Annäherung an den Konvergenzkreis zusammengestellt und durch Heranziehung berühmter Hardy-Littlewoodscher Reihensätze erweitert. Sodann kommt eine Reihentrausformation, welche zur Stirlingschen Reihe im selben Verhältnis steht wie die Eulersche Transformation zur Newtonschen Reihe und übrigens im wesentlichen schon bei Pólya (Ens. math. 22, 1922); F. d. M. 48, 368 (JFM 48.0368.*), 38-47 auftritt; eine große Rolle spielt dabei wie in der ganzen Arbeit die Transformation \(t-\frac t 1=2 \zeta\). Durch komplexe Integration schreitet Nörlund zu der gewünschten Integraldarstellung für die Funktion (1) von dem allgemeinen Aussehen \[ \frac{1}{2\pi i}\int(t^{2z}+t^{-2z})\frac{\varphi(t)}{t}dt \] fort; integriert wird über gewisse Kreisbögen, und \(\varphi(t)\) ist die ``erzeugende Funktion'' \(\varphi(t)=\sum_{n=0}^\infty \frac{F(n)}{t^n}\), für welche die erwähnten Hadamardschen und weiteren Hilfssätze von Bedeutung sind. Analoge Integraldarstellungen für die Besselsche Interpolationsreihe schließen sich an. Die hypergeometrische Reihe liefert eine Fülle der interessantesten und merkwürdigsten Einzelbeispiele von Interpolationsreihen, so für die Funktion \(\frac{\Gamma(\gamma)^2}{\Gamma(\gamma+z)\Gamma(\gamma-z)}\). Diese Beispiele beleuchten die Verhältnisse in der Nähe der Konvergenzgrenze, den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften der Reihe, der Größenordnung der dargestellten Funktion für große \(| z|\) und der Größenordnung der erzeugenden Funktion bei Annäherung an den Konvergenzkreis. Die Theorie der hypergeometrischen Funktion und komplexe Integration über Schleifenwege ermöglicht besonders feine Abschätzungen. Hierbei bieten sich auch Verallgemeinerungen gewisser Ergebnisse von Perron, Heidelb. Ak. Sitzber. A 9 (1916), A 1 (1917) [F. d. M. 46, 666] dar. Das eigentliche Ziel schließlich, die Aufstellung eines Majorantenausdrucks für \(F(z)\), erfordert ziemlich verwickelte Aufteilungen der Integrale, und Rechnungen, die kaum weniger mühsam, jedenfalls ebenso umfangreich sein dürften wie die der französischen, unmittelbar mit den Gliedern der Stirlingschen Reihe arbeitenden Abhandlung. Die Ergebnisse der französischen Abhandlung werden nur bis auf den Faktor \(\log r\) erreicht, doch vermutet Nörlund, daß\ durch noch weitergetriebene Analyse dieser Faktor in Wegfall gebracht werden kann. Er kündigt auch die in ähnlicher Richtung wie seine eigene liegende Arbeit von Uhler, Sur la formule d'interpolation de Stirling, Ark. för Mat., Astron. och Fys.. 18 (1924) Nr. 32, 1-41 an.