Zur Dreiecksgeometrie. (Q5908809)

Es sei \(\varOmega\) die Gesamtheit der Paare von Funktionen \(X\), \(Y\) der sechs Variabeln \(x_\mu\), \(y_\mu\) (\(\mu= 0,\, 1,\, 2\)), die die folgenden Eigenschaften besitzen: 1. \(X\) und \(Y\) sind rationale homogene Funktionen ersten Grades der \(x_\mu\) und \(y_\mu\); 2. \(X\) und \(Y\) ändern sich nicht bei den Vertauschungen \(S = (x_0x_1x_2) (y_0y_1y_2)\) und \(T= (x_0x_1)(y_0y_1)\). 3. \(X\) und \(Y\) werden durch die Bewegungsgruppe kogredient mit \(x\) und \(y\) transformiert. Verf. sucht eine Minimalbasis der Gesamtheit \(\varOmega\), d. h. drei algebraisch unabhängige Funktionenpaare \(X\), \(Y\), aus denen alle Funktionen \(X\), \(Y\) durch rationale Operationen hervorgehen. Dieses Problem wird vom Verf. in der folgenden geometrischen Einkleidung gelöst: Man betrachte die Gesamtheit derjenigen ``merkwürdigen Punkte'' \(Q\) eines Dreiecks \(P_0P_1P_2(P_\mu : x_\mu, y_\mu)\), deren Koordinaten \(X\), \(Y\) rationale symmetrische Funktionen der \(x_\mu\), \(y_\mu\) sind, und frage nach drei solchen Punkten \(Q_\mu\), aus denen sich alle übrigen Punkte \(Q\) mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen; dabei soll der Zirkel jedoch nur zur Konstruktion \textit{rationaler} Ausdrücke verwendet werden. Als eine solche ``Punktebasis'' \(Q_0\), \(Q_1\), \(Q_2\) ergeben sich der Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks, der Höhenschnittpunkt und der Schwerpunkt des Höhenfußpunktsdreiecks. Im Anschluß daran erhält Verf. auch eine Minimalbasis für den Körper der symmetrischen Bewegungsinvarianten. Die Lösung der analogen Aufgabe für das Viereck wird angesetzt, aber nicht mehr vollständig durchgeführt.