Über Systeme hyperkomplexer Größen. (Q5908837)

Die von I. Schur im Jahre 1905 entwickelten Methoden über abstrakte endliche Gruppen werden auf Systeme hyperkomplexer Größen ausgedehnt. Verf. beschränkt sich dabei auf ``halbeinfache'' Systeme, d. h. auf solche, deren parastrophe Determinante im Sinne von Frobenius nicht identisch verschwindet. Es gilt auch hier wie bei endlichen Gruppen, daß jede Darstellung eines halbeinfachen Systems durch Matrizen, sofern sie reduzibel ist, vollständig reduzibel sein muß; es gelten ferner gewisse fundamentale Relationen zwischen dem Koeffizienten der irreduziblen Darstellungen, die ihrerseits eine Übersicht über alle möglichen irreduziblen Darstellungen ermöglichen. Jede beliebige Darstellung eines halbeinfachen Systems ist äquivalent einer Matrix aus Matrizen, deren Diagonalelemente irreduzible Gruppenmatrizen sind oder verschwinden, während alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale verschwinden. Hieraus geht ferner die (eindeutige) Darstellung der halbeinfachen Systeme aus sogenannten einfachen Systemen (Dedekind, Frobenius u. a.) hervor, deren Ordnung für den Fall, daß der Grundbereich alle komplexen Zahlen umfaßt, eine Quadratzahl ist und deren Multiplikationsgesetz auf das der gewöhnlichen Matrizen-Multiplikation zurückgeführt werden kann. Der Verf. definiert die einfachen Systeme mit Hilfe der von ihm als ``Hauptkernzahlen'' bezeichneten, übrigens bereits früher in der Literatur ausgiebig herangezogenen \(k\) Elemente \(e_\varkappa\), für die \(e_\varkappa \cdot e_\lambda = 0\) für \(\varkappa \neq \lambda\), \(e^2_\varkappa = e_\varkappa\) ist. Für einfache Systeme ist \(k = 1\). Die Arbeit enthält ferner Untersuchungen über die ``Charaktere'' der Darstellungen, d. h. die Spuren der betreffenden Gruppenmatrizen, die dann zur Ermittelung aller quadratgleichen Zahlen des Systems dienen, sowie über die verschiedenen möglichen Typen einfacher Systeme bei einem beliebigen Koeffizientenbereich; sie bringt die Ergebnisse von Maclagan-Wedderburn, Scorza und Peirce in neuartige Verbindung mit den Untersuchungen von Scheffers, Molien und Cartan.