Zur Theorie der linearen Integralgleichungen. (Q5908868)

Die Arbeit gibt zwei neue Herleitungen der Auflösungs- und Eigenwerttheorie der linearen Integralgleichung zweiter Art mit stetigem Kern. Sie beruhen beide auf der Tatsache, daß man jeden Kern \(k(s,t)\) durch einen ``Kern von endlichem Range'' \(k_n(s,t)=\sum\limits_{\nu=1}^n \alpha_\nu(s)\beta_\nu(t)\) gleichmäßig approximieren kann, und daß die Integralgleichungen mit solchen Kernen offensichtlich rein algebraische Probleme darstellen, wie das bereits in E. Schmidts Behandlung der Auflösungstheorie (Math. Ann. 64, 161, 1907) zur Geltung kommt. Weiterhin stützt sich die \textit{erste Methode} auf das folgende bekannte \textit{Auswahlprinzip}: Man kann aus jeder gleichmäßig beschränkten und gleichmäßig stetigen Funktionenmenge eine gleichmäßig konvergente Teilfolge auswählen. Speziell gilt das für die sämtlichen durch eine gleichmäßig konvergente Kernfolge \(k_n(s,t)\) und beliebige Funktionen \(h(t)\) von beschränktem \(\int\limits_0^1h(t)^2\,dt\) darstellbaren Funktionen \(\int\limits_0^1k_n(s,t)h(t)\,dt\). Nunmehr kann die Auflösungstheorie der Integralgleichung \[ \varphi(s)-\int_0^1k(s,t)\varphi(t)\,dt=f(s) \tag{1} \] in ganz ähnlicher Weise hergeleitet werden, wie Hilbert in seiner 4. Note (Gött. Nachr. 1906) die Auflösungstheorie der vollstetigen Gleichungssysteme durch Grenzübergang vom Abschnitt aus behandelt: Haben nämlich die approximierenden Gleichungen \[ \varphi(s)-\int_0^1k_n(s,t)\varphi(t)\,dt=f(s) \tag{2} \] für unendlichviele \(n\) eine Lösung \(\varrho_n(s)\) von beschränktem \(\int\limits_0^1\varrho_n(s)^2\,ds\leqq M\), so kann auf Grund des Auswahlprinzips eine gegen eine Lösung von (1) gleichmäßig konvergierende Folge hergestellt werden. Andernfalls aber ergibt sich ebenso eine Lösung der zu (1) gehörigen homogenen Integralgleichung -und weiterhin ergeben sich sämtliche Fredholmschen Sätze leicht durch Verfolgung des Grenzprozesses aus ihrer Gültigkeit für (2). -- Ist \(k(s,t)\) ein \textit{symmetrischer} Kern, so kann auch \(k_n(s,t)\) symmetrisch angenommen werden. Der kleinste positive Eigenwert \(\lambda_1\) wird dann, da er das reziproke Maximum der quadratischen Integralform \[ I(\varphi,\varphi)=\int_0^1\int_0^1k(s,t)\varphi(s)\varphi(t)\,dsdt\text{ mit } \int_0^1\varphi(s)^2\,ds=1 \] ist, als Limes der kleinsten positiven Eigenwerte \(\lambda_1^{(n)}\) von \(k_n(s,t)\) bestimmt, die die gleiche Bedeutung für die gegen \(I(\varphi,\varphi)\) gleichmäßig konvergierenden Integrale \[ I_n(\varphi,\varphi)=\int_0^1\int_0^1k_n(s,t)\varphi(s)\varphi(t)\,dsdt \] haben. Ferner gestattet das Auswahlprinzip, aus den zugehörigen Eigenfunktionen \(\varphi_n(s)\) von \(k_n(s,t)\) eine gegen eine Eigenfunktion von \(k(s,t)\) gleichmäßig konvergierende Teilfolge auszusondern. Die \textit{zweite Methode} vermeidet das Auswahlprinzip und liefert ein bestimmtes, auch als Grundlage numerischer Behandlung der Integralgleichungen verwendbares Verfahren zur Approximation aller Eigenwerte und Eigenfunktionen symmetrischer Kerne. Sie beruht auf den wichtigen Begriffen des \textit{Unabhängigkeitsmaßes} und der \textit{asymptotischen Dimensionszahl}, die Verf. bereits kurz zuvor bei der Behandlung von Randwertproblemen elliptischer Differentialgleichungen in analoger Weise angewandt hatte (R. Courant, Math. Ann. 85, 280-325; F. d. M. 48, 560 (JFM 48.0560.*), 1922). Courant zeigt zunächst durch Weiterbildung des bekannten E. Schmidtschen Beweises für die Endlichkeit der Vielfachheit jedes Eigenwertes, daß die Folge der sämtlichen zu den kleinsten positiven Eigenwerten \(\lambda_1^{(n)}\) der \(k_n(s,t)\) gehörigen Eigenfunktionen \(\varphi_1^{(n)}(s)\) eine endliche asymptotische Dimensionszahl \(r>0\) hat. Der wesentliche Schritt der Betrachtung ist nun der auf Grund der genannten Tatsache und der Eigenfunktionseigenschaft geführte Beweis, daß die Folge der \(\varphi_1^{(n)}(s)\) eine Schar von \(r\) linear unabhängigen Funktionen als \textit{Grenzschar} besitzt, in dem Sinne, daß sich für hinreichend großes \(n\) jedes \(\varphi_1^{(n)}(s)\) von einer passend gewählten Funktion dieser Schar beliebig wenig unterscheidet: diese Schar enthält die sämtlichen zu \(\lambda_1\) gehörigen Eigenfunktionen von \(k(s,t)\). Die weiteren Eigenfunktionen und Eigenwerte werden analog aus dem Courantschen Maximum-Minimum-Prinzip gewonnen. -- Auch die Auflösungstheorie von (1) kann nach dieser Methode ohne Auswahlverfahren behandelt werden. Endlich zeigt Verf., daß diese zweite Methode unmittelbar die Veränderung der Eigenwerte und Eigenfunktionen bei stetig veränderlichem Kern übersehen läßt: Einerseits ändern sich die Eigenwerte stetig mit dem Kern, andererseits gilt für die Eigenfunktionen eines \(r\)-fachen Eigenwertes \(\lambda_1\) von \(k(s,t)\), der Grenzwert der \(r\) einfachen Eigenwerte \(\lambda_1^{(n)},\ldots,\lambda_r^{(n)}\) von \(k_n(s,t)\) ist, daß die lineare Schar der zu \(\lambda_1^{(n)},\ldots,\lambda_r^{(n)}\) gehörigen Eigenfunktionen von \(k_n(s,t)\) die lineare Schar der zu \(\lambda_1\) gehörigen Eigenfunktionen von \(k(s,t)\) gleichmäßig approximiert.