Zur Geometrie der Zahlen. (Q5908891)

Verf. hat (Math. Ann. 86, 99, 1922; F. d. M. 48, 192 (JFM 48.0192.*)) den folgenden Satz bewiesen: Ein Gebiet vom Volumen l enthält im Einheitsgitter mindestens zwei Punkte, deren Verbindungsvektor gleich und parallel einem Vektor des Einheitsgitters ist. Es wird nun gezeigt, daß dieser Satz einen besonders einfachen Beweis für die berühmte (genaue) Minkowskische Abschätzung im nichtzentrierten zweidimensionalen Gitter zu geben gestattet: Aus \(\xi=\alpha x+ \beta y+\xi_0\), \(\eta=\gamma x+\delta y+\eta_0\) folgt die Existenz ganzer \(x\), \(y\) mit \(|\xi\eta|\leqq\frac14\). Das gleiche Lemma des Verf. wird dann noch auf einige weitere Probleme angewandt: Man lege von \((0,0)\) aus einen Halbstrahl \(H\); ist dessen Länge \(>\delta^{-1}\), so gibt es mindestens einen weiteren Gitterpunkt, der von \(H\) um weniger als \(\delta\) entfernt ist. Wird auf \(H\) von \((0,0)\) aus ein beliebiges äquidistantes Gitter aufgetragen, so findet man unter \(n\geqq\delta^{-2}\) seiner Punkte mindestens einen, der in Höhe und Breite um weniger als \(\delta\) von einem Gitterpunkte abweicht. Die letzteren Sätze werden dann auf höhere Dimensionen übertragen (während dies bei dem obigen Minkowskischen Satze bekanntlich größeren Schwierigkeiten begegnet).