Über die Wurzeln trinomischer Gleichungen. (Q5908919)

Landau (Zürich. Naturf. Ges. 51, 1906) hat zuerst erkannt, daß bei allen trinomischen Gleichungen \[ wz^n + z^m - 1 = 0 \tag{1} \] (\(n > m > 1\), \(n\) und \(m\) relativ prim) für die ihrem absoluten Betrage nach kleinste Wurzel eine obere Schranke existiert, die von \(w\) unabhängig ist. Verf. zeigt, daß man die komplexe \(z\)-Ebene in \(2mn\) Gebiete einteilen kann, so daß sich die \(n\) Wurzeln der Gleichung (1) auf gewisse \(n\), durch die Größe \(w\) bestimmbare dieser \(2mn\) Gebiete verteilen. Ordnet man die Gleichungswurzeln nach ihren absoluten Beträgen \(| z_1 | \leqq | z_2 | \leqq\cdots\leqq | z_n |\), so wird die Größenfolge der Wurzeln durch die Gebiete bestimmt, denen sie angehören, und für jede einzelne Wurzel ist bei unbeschränkt variablem \(w\) der genaue Variabilitätsbereich festgelegt. Für die absoluten Beträge der ersten \(m\) Wurzeln lassen sich bei beliebigem \(w\) feste obere Schranken \(M_1\), \(M_2,\,\ldots\), \(M_m\) finden, so daß \(| z_1| \leqq M_1\), \(|z_2|\leqq M_2,\, \ldots\), \(| z_m|\leqq M_m\) ist, und dabei bedeutet \(M_i\) auch das genaue Maximum für den absoluten Betrag der \(i\)-ten Wurzel (\(i = 1,\, 2,\,\ldots,\, m\)). Im besonderen ist das Maximum \(M_1\) für die ihrem absoluten Betrage nach kleinste Wurzel \(M_1 =\dfrac n{n-1}\), falls \(m = 1\), und \(M_1=1\), falls \(m \geqq 2\), und in dem Kreise mit dem Radius \(M_m =\left( 1-\dfrac mn\right)^{-\frac1m}\) um den Nullpunkt liegen stets mindestens \(m\) Wurzeln.