On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees. (Q5908937)

Es handelt sich um die rationalen Lösungen von Gleichungen der Form \[ \left\{ \begin{matrix} \l \\ \zeta^2 = a\xi^4 + b\xi^3 \eta + c\xi^2 \eta^2 + d\xi \eta^3 + e \eta^4, \\ y^2 = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e, \end{matrix} \right. \tag{1} \] \[ 0 = f(x,y,z), \tag{2} \] \[ y^2 = 4x^3 - g_2 x - g_3 \tag{3} \] mit rationalen Koeffizienten, wo \(f(x,y,z)\) eine homogene, ternäre, kubische Form ist. An früherer Stelle bewies der Verf. (Quart. J. 45, 180, 1914): ``Alle rationalen Lösungen von (1), bzw. (2) können gefunden werden, wenn man nur eine einzige sowie alle rationalen Lösungen der Gleichung (3) mit den zugehörigen, bekannten Invarianten \(g_2, g_3\) kennt. Umgekehrt kann man alle rationalen Lösungen des betr. (3) finden, wenn man nur alle solchen von (1) oder (2) kennt.'' In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß, wenn eine der drei Gleichungen (1), (2), (3) eine unendliche Anzahl von rationalen Lösungen hat, dann die klassische Methode der ``infiniten Deszendenz'' (s. etwa Bachmann, Das Fermatproblem, 1919) anwendbar ist, um alle Lösungen rational durch \textit{endlich viele} auszudrücken, und zwar speziell für (3) in der Form \[ x = \wp (m_1u_1 + \cdots + m_nu_n); \quad y = \wp^\prime (m_1u_1 + \cdots + m_n u_n), \] wo \(m_1,\dots, m_n\) alle ganzen Zahlen durchlaufen und \[ x_\nu = \wp(u_\nu ), \quad y_\nu = \wp^\prime (u_\nu ); \qquad (\nu = 1,\dots, n) \] gewisse endlich viele rationale Lösungen sind (Additionstheorem für \(\wp (u)\) und \(\wp^\prime (u)\)!). Die gegenseitige Zurückführung von (1), (2) auf (3) und umgekehrt geschieht durch birationale Transformation. Der Endlichkeitsnachweis im angegebenen Sinne wird auf Grund der Endlichkeit der Klassenzahl und des Grundeinheitensystems des (1) zugehörigen biquadratischen Zahlkörpers geführt. Am Schluß spricht der Verf. noch einige Vermutungen über den Charakter der rationalen bezw. ganzzahligen Lösungsgesamtheiten einiger Typen diophantischer Gleichungen vierten und höheren Grades aus, deren Beweis er bisher nicht erbringen kann.