Congruence properties of partitions. (Q5908939)

Die vorliegende, aus dem Nachlaß des früh Verstorbenen durch G. H. Hardy herausgegebene und mit Bemerkungen versehene Arbeit beschäftigt sich mit Kongruenzeigenschaften der Koeffizienten der Potenzreihe \[ 1 + p(1)x + p(2)x^2 + \cdots = \frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots}. \] Bezeichnet \(\sigma_a(n)\) die Summe der \(\alpha\)-ten Potenzen sämtlicher Teiler von \(n\), so gilt: \[ \begin{gathered} p(n - 1) - p(n - 26) - p(n - 51) + p(n -126) + p(n -176) - p(n - 301) - \cdots \\ \equiv n\sigma_1(n) \pmod 5; \\ p(n - 2) - p(n - 51) - p(n -100) + p(n - 247) + p(n - 345) - p(n - 590) - \cdots \\ \equiv n^2 \sigma_1(n) - n \sigma_3(n) \pmod 7; \\ p(n - 5) - p(n -126) - p(n - 247) + p(n - 610) + p(n - 852) - p(n -1457) - \cdots \\ \equiv -n^4 \sigma_1(n) + 3 n^3 \sigma_3(n) + 3n^2 \sigma_5(n) - 5n \sigma_7(n) \pmod {11}. \end{gathered} \] Hierbei ergeben sich die linkerhand (in dem Argument von \(p\)) auftretenden Zahlen aus \[ \begin{matrix} \l & \l \\ \frac 12 (5n-1)(15 n -2), & \frac 12 (5n+1)(15 n +2), \\ \frac 12 (7n-1)(21 n -4), & \frac 12 (7n+1)(21 n +4), \\ \frac 12 (11n-2)(33 n -5), & \frac 12 (11n+2)(33 n +5), \end{matrix} \] für \(n = 0, 1, 2, \dots \). (Für \(n = 0\) ist 1, 2, bzw. 5 nur einmal zu behalten.) Man erhält so u. a. die Kongruenzen \[ \begin{matrix} p(5m - 1) \equiv 0 \pmod 5, \\ p(7m - 2) \equiv 0 \pmod 7, \\ p(11m - 5) \equiv 0 \pmod {11}. \end{matrix} \] Für diese letzte Kongruenz wird noch ein direkter Beweis mitgeteilt.