On the distribution of primes. (Q5908950)

Unter Voraussetzung der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung wird folgender Satz bewiesen: Sei \(p_n\) die \(n\)-te Primzahl, \(k\) eine Zahl mit \(0 < k \leqq\frac12\) und \(h(x) = h_k(x)\) die Anzahl der Primzahlen \(p_n\leqq x\), welche der Ungleichung \[ p_{n+1}-p_n>p_n^k \] genügen. Dann ist \[ h(x)=O\left(x^{1-\tfrac32k+\varepsilon}\right) \] für alle positiven \(\varepsilon\).