Über diophantische Approximationen. (Q5908952)

Seien \(\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n\) beliebige reelle Zahlen; es läßt sich leicht zeigen, daß die \(n\) Ungleichungen \[ \left|\alpha_{\nu}-\frac{p_{\nu}}q\right|<\frac{\delta}{q\root n\of q}\qquad (\nu=1,2,\ldots,n) \tag{1} \] für \(\delta= 1\) durch unendlich viele Systeme ganzer Zahlen: \[ p_1,\ldots,p_n,q \] befriedigt werden. Dies ist nach Minkowski sogar für \(\delta=\dfrac{n}{n+1}\) der Fall. Dagegen hat Borel gezeigt, daß zu jedem \(s >\dfrac1n\) und zu beliebig großem \(C\) Zahlen \(\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n\) existieren, für die die Ungleichungen \[ \left|\alpha_{\nu}-\frac{p_{\nu}}q\right|<\frac{C}{q^{1+s}} \qquad (\nu=1,2,\ldots,n) \] nur endlich viele Lösungssysteme \(p_1,\ldots, p_n\), \(q\) besitzen. Darüber hinaus gibt nun Perron einfache Beispiele solcher Zahlen \(\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n\) für die schon die Ungleichungen (1) bei zu kleinem \(\delta\) nur endlich oft erfüllt werden. Ein solches Beispiel ist: \[ \alpha_{\nu}=2^{\frac{\nu}{n+1}}\qquad (\nu=1,2,\ldots, n),\qquad \delta=\frac1n\left(\frac{2^{\frac1{n+1}}-1}{2}\right)^n. \] Andererseits werden auch Zahlen \(\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n\) angegeben, die beliebig starke Approximationen zulassen. Genauer: wenn \(\varphi(q)\) eine noch so stark wachsende Funktion ist, so gibt es dazu Zahlen \(\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_n\), für die die Ungleichungen \[ \left|\alpha_{\nu}-\frac{p_{\nu}}q\right|\qquad (\nu=1,2,\ldots,n) \] unendlich viele Lösungssysteme \(p_1,\ldots, p_n\), \(q\) besitzen.