On functions of closest approximation. (Q5908964)

Es seien die Funktionen \(p_1(x)\), \dots, \(p_n(x)\) stetig und linear unabhängig für \(a\leqq x\leqq b\), sowie \[ \varPhi(x)=c_1p_1(x)+\dots +c_np_n(x) \] eine beliebige lineare Kombination derselben. Zu jedem von \(a\) bis \(b\) stetigen \(f(x)\) gibt es dann 1. bei \(m >1\) eine und nur eine Funktion \(\varPhi=\varPhi_m\), für welche \[ \underset{a\hfill}{\int^b}|\,f(x)-\varPhi(x)\,|^m\,dx= \text{Minimum}, \] und 2. wenigstens eine Funktion \(\varPhi=\varPhi_0\), für welche \[ \text{Maximum}\;|\,f(x)-\varPhi(x)\,|^m=\text{Minimum, etwa}=l_0; \] diese ``Tschebyscheffsche Näherungsfunktion'' ist bei der Approximation durch Polynome oder trigonometrische Summen (und auch in allgemeineren Klassen von Fällen) einzig. Unter Benutzung dieser Bezeichnungen lautet das Hauptergebnis des Verf.: \textit{Theorem} III. Es ist stets \[ \lim_{m=\infty }\Bigl\{\underset{a\leqq x\leqq b} {\text{Maximum}}\;|\,f(x)-\varPhi_m(x)\,|\Bigr\}=l_0. \] \textit{Theorem} IV. Immer dann, wenn das System der \(p_\nu(x)\) (\(\nu = 1\), \dots, \(n\)) so beschaffen ist, daß die Tschebyscheffsche Funktion eindeutig festliegt, gilt \[ \lim_{m=\infty }\varPhi_m(x)=\varPhi_0(x) \] in dem Sinne, daß die Koeffizienten von \(\varPhi_m\;(x)\) gegen die von \(\varPhi_0(x)\) streben. Wie Verf. in einer späteren Arbeit bemerkt, hat den Fall der Polynome, also \(p_\nu(x) = x^{\nu-1}\), bereits Pólya behandelt (C. R. 157, 840, 1913).