The approximate functional equation in the theory of the zeta-function, with applications to the divisor-problems of Dirichlet and Piltz. (Q5908977)

Das Ziel des ersten Teils der Arbeit ist der Beweis der verkürzten Funktionalgleichung der Zetafunktion, von der in der vorstehend angezeigten Arbeit nur ein etwas eingeschränkterer Wortlaut (\(0 <\sigma < 1\), \(\sigma\) fest und ein \(\log t\) mehr im Endergebnis) gebraucht wurde. \(H\), \(K\) seien positive Konstanten, \(|\sigma|\leqq H\), \(x > K\), \(y > K\), \(2\pi xy= | t |\), \(\chi = 2 (2\pi)^{s-1} \sin\dfrac{\pi s}2 \varGamma(1 - s)\). Dann genügt die durch \[ \zeta(s) = \sum_{n<x}n^{-s} + \chi\sum_{n<y} n^{s-1} + R \] definierte Zahl \(R\) der Ungleichung \[ |R|<A(H,K)(x^{-\sigma} + y^{\sigma-1}|t|^{\frac12-\sigma}). \] Ist überdies \(x \geqq y\), bzw. \(x \leqq y\), so ist \[ |R|<A(H,K) \frac{x^{1-\sigma}}{|t|^{\frac12}+x\vartheta(y)},\quad \text{bzw.}\quad <A(H,K) \frac{|t|^{\frac12-\sigma}y^\sigma}{|t|^{\frac12}+y\vartheta(x)}\,, \] wo \(\vartheta(z)\) der Abstand von \(z\) zur nächsten ganzen Zahl ist. Der Beweis dieser fundamentalen Relation ist lang. Unter den Anwendungen sei der Nachweis von \[ \int\limits_{-T}^T |\zeta(\tfrac12 +ti)|^4\,dt = O(T\log^4T) \tag{1} \] hervorgehoben; ferner der hierauf fußende Nachweis, daß das Fehlerglied beim Piltzschen Teilerproblem, d. h. die Funktion \[ \sum_{a_1\ldots a_k\leqq x} 1-\mathop{\text{Res.}}\limits_{s=1} \frac{x^s}s \zeta^k(s), \] von der bisher nur \(O\left(x^{1-\frac2{k+1}}\log^{k-1}x\right)\) bekannt war (durch Landau, F. d. M. 45, 310, 1914-15), für \(k\geqq 4\) sogar \(\left(x^{1-\frac2k+\varepsilon}\right)\) ist. Unter Heranziehung des weiteren (in dieser Arbeit noch nicht bewiesenen) Satzes der Verf. \(\zeta(\frac12 + ti) = O\left(t^{\frac16+\varepsilon}\right)\) kommt, wie zum Schluß erwähnt wird, sogar \(O\left(x^{1-\frac3{k+2}+\varepsilon} \right)\) heraus. Der Übergang von (1) zu diesen Resultaten ist nicht schwierig und stützt sich auf \[ \begin{gathered} \left|\int\limits_{\frac12+2i}^{\frac12+\omega i} \frac{x^s}s \zeta^k(s)\, ds\right| \leqq x^{\frac12} \int\limits_2^\omega \frac{|\zeta(\frac12+ti)|^k}t\,dt \\ \leqq x^{\frac12} \mathop{\text{Max}}\limits_{2\leqq t\leqq\omega} |\zeta(\tfrac12+ti)|^{k-4} \int\limits_2^\omega \frac{|\zeta(\frac12+ti)|^4}t\, dt= x^{\frac12} O(\omega^{(k-4)\mu(\frac12)+\varepsilon}). \end{gathered} \] (II 6.)