Sur les développements de Jacobi. (Q5909000)

Die Jacobischen Polynome sind orthogonal im Intervall \((- 1, +1)\) mit der Belegungsfunktion \((1 - x)^\alpha (1 +x)^\beta\), \(\alpha > - 1\), \(\beta > - 1\). Es sei \(f (x) \) summabel, ferner seien \[ (1 - x)^{1 + \alpha - \varepsilon} f(x) \quad \text{ und } (1 + x)^{1+ \beta - \varepsilon} f(x) \] beschränkt in der Umgebung von \(x = 1\) bzw. \(x = -1\), \(\varepsilon > 0\). Wenn \(\alpha + \beta > 0\), \(|\alpha - \beta| < 1\), dann ist die Entwicklung von \(f(x)\) nach Jacobischen Polynomen summabel \((C, \delta > 1 + \alpha + \beta)\) für \(x = x_0\) \( (- 1 < x_0 < 1)\) mit der Summe \(\frac 12 (f(x_0 -0) + f(x_0 + 0))\), vorausgesetzt, daß \(f(x)\) in der Umgebung von \(x_0\) von beschränkter Schwankung ist. Die Konvergenz ist sogar gleichmäßig in einem, den Punkt \(x_0\) enthaltenden inneren Stetigkeitsintervall, in welchem \(f (x)\) von beschränkter Schwankung ist. Der kurz angedeutete Beweis stützt sich auf einen Satz von Chapman (Quart. J. 43, 1, 1912). (Vgl. G. Szegö, Math. Zeitschr. 12, 61; Ref. auf S. 378 ff.)