Sur un théorème de géométrie et son application aux équations aux dérivées partielles du type elliptique. (Q5909048)

Beweis und Folgerungen des Satzes: Eine Fläche \(z=f(x,y)\), wo \(f(x,y)\) stetige Ableitungen erster und zweiter Ordnung besitzt und deren totale Krümmung weder positiv noch identisch Null ist, kann nicht beständig zwischen zwei festen Ebenen \(z=\pm h\) bleiben. Daraus folgt: Ist \(z\) eine beschränkte Funktion, welche stetige Ableitungen erster und zweiter Ordnung zuläßt und eine Gleichung \(Ar + 2 Bs + Ct = 0\) befriedigt, wo \(A\), \(B\), \(C\) endliche Funktionen von \(x\), \(y\), \(z\), \(p\), \(q\), \(r\), \(s\), \(t\) mit \(AC - B^2>0\) sind, so ist diese Funktion \(z\) eine Konstante. In Anwendung auf die Minimalflächen wird bewiesen: Eine reelle Minimalfläche \(z=f(x,y)\), wo \(f(x,y)\) stetige Ableitungen der beiden ersten Ordnungen für sämtliche reelle endliche \(x\), \(y\) hat, ist eine Ebene.